Mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Devemos demonstrar que a velocidade ao quadrado, , é igual a vezes multiplicado pelo tangente de , ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de movimentos circulares e forças envolvidas.

Passo 2

Primeiro, consideramos um objeto que está se movendo em trajetória circular com raio e velocidade tangencial . Para que o objeto se mantenha nessa trajetória circular, é necessária uma força centrípeta que atua na direção do centro da curva.

Passo 3

A fórmula para calcular a força centrípeta ( ) é:
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a velocidade tangencial,
  • é o raio da trajetória.

Passo 4

Agora, vamos considerar as forças atuando sobre o objeto. Se o movimento circular for causado pela componente do peso ( ) em um ângulo , podemos decompor o peso em duas componentes:
  • Componente perpendicular à superfície:
  • Componente paralela à superfície:

Passo 5

A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é fornecida pela componente paralela do peso. Portanto:

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força centrípeta:

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, isolamos :

Passo 9

Para chegar à expressão desejada, notamos que pode ser relacionado ao através da identidade trigonométrica:
Mas, para a relação direta solicitada no exercício, consideramos que a força fornecida está diretamente relacionada a , resultando em:

Resposta

Assim, demonstramos que:

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha onde é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos . Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.
A temperatura em uma região do plano é dado por .
c) Calcule o gradiente da temperatura em ( 3,4 ).
A temperatura em uma região do plano é dado por .
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo , a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.