Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Devemos demonstrar que a velocidade ao quadrado,
, é igual a
vezes
multiplicado pelo tangente de
, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de movimentos circulares e forças envolvidas.
Passo 2
Primeiro, consideramos um objeto que está se movendo em trajetória circular com raio
e velocidade tangencial
. Para que o objeto se mantenha nessa trajetória circular, é necessária uma força centrípeta que atua na direção do centro da curva.
Passo 3
A fórmula para calcular a força centrípeta (
) é:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade tangencial, -
é o raio da trajetória.
Passo 4
Agora, vamos considerar as forças atuando sobre o objeto. Se o movimento circular for causado pela componente do peso (
) em um ângulo
, podemos decompor o peso em duas componentes:
- Componente perpendicular à superfície:
- Componente paralela à superfície:
Passo 5
A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é fornecida pela componente paralela do peso. Portanto:
Passo 6
Igualando as duas expressões para a força centrípeta:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Passo 9
Para chegar à expressão desejada, notamos que
pode ser relacionado ao
através da identidade trigonométrica:
Mas, para a relação direta solicitada no exercício, consideramos que a força fornecida está diretamente relacionada a
, resultando em:
Resposta
Assim, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
onde
é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos
. Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.
A temperatura em uma região do plano é dado por
.
c) Calcule o gradiente da temperatura em ( 3,4 ).
c) Calcule o gradiente da temperatura em ( 3,4 ).
A temperatura em uma região do plano é dado por
.
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo
, a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.
a) Se a partir do ponto