Seja
uma função bijetora ímpar. Mostre que a função inversa
também é uma função ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se temos uma função
que é bijetora e ímpar, então a sua função inversa
também é uma função ímpar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções bijetoras e ímpares, além de como funciona a inversa de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função índef. Uma função
é chamada de ímpar se, para todo
no domínio,
. Isso basicamente diz que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Injetora significa que cada elemento no domínio mapeia para um único elemento no contradomínio, e sobrejetora significa que todo elemento no contradomínio é imagem de algum elemento no domínio. Isso garante que existe uma função inversa
que “desfaz” o que
faz.
Passo 4
Para mostrar que
é ímpar, precisamos provar que
para todo
no domínio de
.
Passo 5
Vamos usar a definição de função inversa. Sabemos que
. Agora, vamos aplicar a propriedade de ser uma função ímpar na função
:
Isso mostra que
é o valor que, ao ser passado por
, resulta em
.
Passo 6
Como a função
é bijetora, cada valor tem um único correspondente na função inversa. Portanto, temos:
Isso significa que
também satisfaz a condição de ser uma função ímpar.
Resposta
Concluímos que a função inversa
é uma função ímpar.