Seja f: R -> R uma função bijetora ímpar. Mostre que a função inversa f^-1 também é uma função ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se temos uma função que é bijetora e ímpar, então a sua função inversa também é uma função ímpar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções bijetoras e ímpares, além de como funciona a inversa de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função índef. Uma função é chamada de ímpar se, para todo no domínio, . Isso basicamente diz que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Injetora significa que cada elemento no domínio mapeia para um único elemento no contradomínio, e sobrejetora significa que todo elemento no contradomínio é imagem de algum elemento no domínio. Isso garante que existe uma função inversa que “desfaz” o que faz.

Passo 4

Para mostrar que é ímpar, precisamos provar que para todo no domínio de .

Passo 5

Vamos usar a definição de função inversa. Sabemos que . Agora, vamos aplicar a propriedade de ser uma função ímpar na função :
Isso mostra que é o valor que, ao ser passado por , resulta em .

Passo 6

Como a função é bijetora, cada valor tem um único correspondente na função inversa. Portanto, temos:
Isso significa que também satisfaz a condição de ser uma função ímpar.

Resposta

Concluímos que a função inversa é uma função ímpar.

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