Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.4. integralc(y-x) cdot d x+x^2 cdot y cdot d y
C: y^2=x^3 de (1,-1) até (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo da curva , onde é definida pela equação indo do ponto até . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e substituir na integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva dada por . Essa é uma curva conhecida como cúspide, e ela relaciona os valores de e de uma forma específica. Nosso objetivo é encontrar uma maneira de expressar e em termos de um parâmetro, digamos , que nos permita calcular e .

Passo 3

Vamos escolher y = t Rightarrow t^2 = x^3 Rightarrow x = t^2/3 como nosso parâmetro x(t) = t^2/3 . Assim, podemos expressar y(t) = t em função de usando a equação da curva:
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dx = ddt(t^2/3) dt = 23 t^-1/3 dt e dy = ddt(t) dt = dt em termos de :

Passo 5

Substituímos integralC (y - x) dx + x^2 y dy = integralt=-1^t=1 ( t - t^2/3 ) ( 23 t^-1/3 ) dt + integralt=-1^t=1 ( t^4/3 cdot t ) dt , = integral-1^1 ( t - t^2/3 ) cdot 23 t^-1/3 dt + integral-1^1 t^7/3 dt , e na integral de linha original:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos simplificar cada parte da integral separadamente:
Primeira integral:
integral-1^1 ( t cdot 23 t^-1/3 - t^2/3 cdot 23 t^-1/3 ) dt = 23 integral-1^1 ( t^2/3 - t^1/3 ) dt
Segunda integral:
integral-1^1 t^7/3 dt

Passo 7

Calculando as integrais:
Primeira integral:
23 [ 35 t^5/3 - 34 t^4/3 ]-1^1 = 23 ( ( 35 (1)^5/3 - 34 (1)^4/3 ) - ( 35 (-1)^5/3 - 34 (-1)^4/3 ) )
Note que = 23 ( ( 35 - 34 ) - ( -35 - 34 ) ) = 23 ( ( -320 ) - ( -1520 ) ) = 23 ( 1220 ) = 23 cdot 35 = 25 e integral-1^1 t^7/3 dt = [ 310 t^10/3 ]-1^1 = 310 ( (1)^10/3 - (-1)^10/3 ) = 310 (1 - 1) = 0 , então:
Segunda integral:

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
25 + 0 = 25
Portanto, o valor da integral de linha é .

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