Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.4.
de
até
7.4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo da curva
, onde
é definida pela equação
indo do ponto
até
. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e substituir na integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
dada por
. Essa é uma curva conhecida como cúspide, e ela relaciona os valores de
e
de uma forma específica. Nosso objetivo é encontrar uma maneira de expressar
e
em termos de um parâmetro, digamos
, que nos permita calcular
e
.
Passo 3
Vamos escolher
como nosso parâmetro
. Assim, podemos expressar
em função de
usando a equação da curva:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
em termos de
:
Passo 5
Substituímos
,
,
e
na integral de linha original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos simplificar cada parte da integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 7
Calculando as integrais:
Primeira integral:
Note que
e
, então:
Segunda integral:
Resposta
Somando as duas integrais, temos:
Portanto, o valor da integral de linha é
.