Verifique se a função
é contínua em
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pergunta se a função
é contínua em
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites. Precisaremos entender como calcular limites laterais e verificar se eles são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto onde queremos verificar a continuidade, que é
. Observamos que, substituindo esse valor na função:
Aqui, a função está indefinida em
, pois não podemos dividir por zero.
Passo 3
Mesmo a função estando indefinida em
, podemos investigar os limites laterais para verificar a continuidade. Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
).
Passo 4
Vamos simplificar a função
:
A fração
é igual a
quando
e
quando
. Portanto:
Passo 5
Agora, calculamos os limites laterais:
- Limite quando
(pela esquerda):
- Limite quando
(pela direita):
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite geral
não existe.
Passo 7
Para a função ser contínua em
, é necessário que o limite exista e seja igual ao valor da função nesse ponto. Porém, vimos que o limite não existe e a função está indefinida em
.
Resposta
A função
não é contínua em
.