Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.7. integralc(y cdot z) cdot d x-(x cdot z) cdot d y+(x cdot y) cdot d z C: x=e^t, y=e^3 t, e^-t (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva . A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar das parametrizações das coordenadas , e em função de , e aplicar a fórmula da integral de linha para funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as parametrizações da curva x(t) = e^t, y(t) = e^3t, z(t) = e^-t, para 0 <= t <= 1 :
Essas funções nos dizem como , e variam com o parâmetro ao longo da curva.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de dxdt = e^t, dydt = 3e^3t, dzdt = -e^-t , e em relação a , pois elas serão usadas na fórmula da integral de linha:

Passo 4

A fórmula da integral de linha para uma função vetorial integralC F cdot dr = integrala^b [ Pdxdt + Qdydt + Rdzdt ] dt ao longo de uma curva parametrizada por P = y cdot z, Q = -x cdot z, R = x cdot y de a é:
No nosso caso, temos:

Passo 5

Vamos substituir P(t) = y(t) cdot z(t) = e^3t cdot e^-t = e^2t , Q(t) = -x(t) cdot z(t) = -e^t cdot e^-t = -1 e R(t) = x(t) cdot y(t) = e^t cdot e^3t = e^4t pelas suas expressões em termos de :

Passo 6

Agora, vamos montar a integral substituindo tudo na fórmula:
integral0^1 [ e^2t cdot e^t + (-1) cdot 3e^3t + e^4t cdot (-e^-t) ] dt
Simplificando os termos:
e^2t cdot e^t = e^3t
-1 cdot 3e^3t = -3e^3t
e^4t cdot (-e^-t) = -e^3t
Então, a integral fica:
integral0^1 (e^3t - 3e^3t - e^3t) dt = integral0^1 (-3e^3t) dt

Passo 7

Agora, vamos integrar integral -3e^3t dt = -3 cdot e^3t3 + C = -e^3t + C em relação a [ -e^3t ]0^1 = -e^3(1) + e^3(0) = -e^3 + 1 :
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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