Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.7.
7.7.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva
. A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar das parametrizações das coordenadas
,
e
em função de
, e aplicar a fórmula da integral de linha para funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as parametrizações da curva
:
Essas funções nos dizem como
,
e
variam com o parâmetro
ao longo da curva.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
, pois elas serão usadas na fórmula da integral de linha:
Passo 4
A fórmula da integral de linha para uma função vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por
de
a
é:
No nosso caso, temos:
Passo 5
Vamos substituir
,
e
pelas suas expressões em termos de
:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral substituindo tudo na fórmula:
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1:
Resposta
A integral de linha é igual a
.