Considere a equação diferencial
.
b) Resolva a EDO.
b) Resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado “fator integrante” para transformar a equação numa forma que a gente consegue descobrir a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Podemos isolar
assim:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde
e
. Para resolver, a gente vai usar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
O fator integrante (
) é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação num formato que a parte esquerda é a derivada do produto de
e
.
Passo 6
Reconhecendo isso, reescrevemos a equação como:
Isso facilita a integração dos dois lados.
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 9
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: