Considere a equação diferencial (2xy - 4x) + dy/dx = 0.
b) Resolva a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado “fator integrante” para transformar a equação numa forma que a gente consegue descobrir a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Podemos isolar assim:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, essa é uma equação diferencial linear da forma , onde e . Para resolver, a gente vai usar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

O fator integrante ( mu(x)) é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação num formato que a parte esquerda é a derivada do produto de y e mu(x).

Passo 6

Reconhecendo isso, reescrevemos a equação como:
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Para resolver a integral , fazemos uma substituição simples: seja , então , ou seja, . Assim:

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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