A função definida por
f(x) = { cos(x), x < 0; 0, x = 0; 1 - x^2, x > 0 }
é contínua? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função que muda dependendo do valor de . A questão é determinar se essa função é contínua. Pra isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que a gente tem:
A gente precisa verificar a continuidade em todos os pontos, mas o único ponto que pode causar problema é , porque é onde a definição da função muda.

Passo 4

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Isso porque é contínua e sabemos que .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Aqui, também usamos que a função é contínua e substituímos por 0.

Passo 6

Agora que temos os limites laterais, vamos comparar com o valor da função em :
E o limite quando se aproxima de 0 é:
Para a função ser contínua em 0, esses valores precisam ser iguais, mas aqui não são.

Resposta

A função não é contínua em porque o limite é diferente de .

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