Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função que muda dependendo do valor de . A questão é determinar se essa função é contínua. Pra isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade e como calcular limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que a gente tem:
A gente precisa verificar a continuidade em todos os pontos, mas o único ponto que pode causar problema é , porque é onde a definição da função muda.
Passo 4
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ():
Isso porque é contínua e sabemos que .
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita ():
Aqui, também usamos que a função é contínua e substituímos por 0.
Passo 6
Agora que temos os limites laterais, vamos comparar com o valor da função em :
E o limite quando se aproxima de 0 é:
Para a função ser contínua em 0, esses valores precisam ser iguais, mas aqui não são.
Resposta
A função não é contínua em porque o limite é diferente de .