Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva c. (Ex 19 a 22)
6.2. integralc x1+y^2 cdot d s
C: x=1+2 cdot t, y=t (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, o enunciado pede para calcular a integral integralc x1+y^2 cdot ds ao longo da curva C definida por x = 1 + 2t, y = t para t entre 0 e 1. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha, que basicamente somam valores ao longo de uma curva no espaço. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a expressão para ds e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Vamos começar parametrizando a curva. Já temos as equações paramétricas dadas:
x = 1 + 2t
y = t
Aqui, t é o parâmetro que varia de 0 a 1. Isso significa que, conforme t varia, percorremos a curva C.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para ds, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para ds em termos do parâmetro t é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos calcular dxdt e dydt:
dxdt = 2
dydt = 1

Passo 4

Substituímos essas derivadas na expressão de ds:
ds = raiz(2)^2 + (1)^2 , dt = raiz4 + 1 , dt = raiz5 , dt
Então, ds = raiz5 , dt.

Passo 5

Agora, substituímos x e y em termos de t na função que está dentro da integral:
x1 + y^2 = 1 + 2t1 + t^2

Passo 6

Então, a integral original se transforma em uma integral em termos de t:
integralc x1 + y^2 , ds = integral0^1 1 + 2t1 + t^2 cdot raiz5 , dt
Podemos fatorar raiz5 para fora da integral:
raiz5 integral0^1 1 + 2t1 + t^2 , dt

Passo 7

Vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
1 + 2t1 + t^2 = 2t1 + t^2 + 11 + t^2
Então, a integral fica:
raiz5 ( integral0^1 2t1 + t^2 , dt + integral0^1 11 + t^2 , dt )

Passo 8

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral 2t1 + t^2 , dt
Fazemos uma substituição simples: seja u = 1 + t^2, então dudt = 2t, ou seja, dt = du2t. Substituindo:
integral 2tu cdot du2t = integral 1u , du = ln|u| + C = ln(1 + t^2) + C
Segunda integral:
integral 11 + t^2 , dt = arctan(t) + C

Passo 9

Agora, substituímos de volta nas integrais definidas de 0 a 1:
Primeira parte:
ln(1 + t^2) |0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2)
Segunda parte:
arctan(t) |0^1 = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4

Passo 10

Finalmente, juntamos tudo:
raiz5 ( ln(2) + pi4 )

Resposta

A integral de linha é igual a raiz5 ( ln(2) + dfracpi4 ).

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