Calcule a integral de linha em relação a ao longo da curva . (Ex 19 a 22)
6.2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, o enunciado pede para calcular a integral ao longo da curva definida por , para entre 0 e 1. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha, que basicamente somam valores ao longo de uma curva no espaço. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a expressão para e então montar e calcular a integral.
Passo 2
Vamos começar parametrizando a curva. Já temos as equações paramétricas dadas:
Aqui, é o parâmetro que varia de 0 a 1. Isso significa que, conforme varia, percorremos a curva .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para em termos do parâmetro é:
Vamos calcular e :
Passo 4
Substituímos essas derivadas na expressão de :
Então, .
Passo 5
Agora, substituímos e em termos de na função que está dentro da integral:
Passo 6
Então, a integral original se transforma em uma integral em termos de :
Podemos fatorar para fora da integral:
Passo 7
Vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Fazemos uma substituição simples: seja , então , ou seja, . Substituindo:
Segunda integral:
Passo 9
Agora, substituímos de volta nas integrais definidas de 0 a 1: