Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.8. integralc x^2 cdot d x+x cdot y cdot d y+z^2 cdot d z
C: x=sen(t), y=cos (t), z=t^2 (0 <= t <= pi2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de integral de linha, que faz parte do estudo de cálculo vetorial. A gente precisa calcular a integral ao longo de uma curva x = sin(t) y = cos(t) z = t^2 onde 0 <= t <= pi2 definida pelas equações paramétricas:
O que vamos precisar é substituir as expressões paramétricas na integral original e então integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
integralC x^2 , dx + x y , dy + z^2 , dz
Como a curva está parametrizada em termos de , vamos expressar cada termo da integral em função de .

Passo 3

Vamos substituir x = sin(t), y = cos(t), z = t^2 , dx = cos(t) , dt, dy = -sin(t) , dt, dz = 2t , dt e pelas suas expressões paramétricas:
Agora, vamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a , que nos darão , e :

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^pi2 [ (sin(t))^2 cdot cos(t) , dt + sin(t) cdot cos(t) cdot (-sin(t)) , dt + (t^2)^2 cdot 2t , dt ]
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:

Passo 5

Substituindo as simplificações na integral:
integral0^pi2 [ sin^2(t) cos(t) - sin^2(t) cos(t) + 2t^5 ] , dt
Perceba que os dois primeiros termos se cancelam:
sin^2(t) cos(t) - sin^2(t) cos(t) = 0
Então, a integral fica apenas com:
integral0^pi2 2t^5 , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar integral 2t^5 , dt = 2 cdot t^66 = t^63 em relação a :

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de t^63 |0^pi2 = (pi2)^63 - 0^63 = pi^63 cdot 2^6 = pi^6192 a :

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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