Prove que existe uma raiz da equação x^5 - x^3 + 3 x - 5 = 0 no intervalo (1,2).

Passo 1

Beleza, a gente precisa provar que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 1 e 2. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua e muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função quando :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função quando :
Então, .

Passo 4

Observamos que e . A função mudou de negativa para positiva nesse intervalo. Como a função é um polinômio, ela é contínua em todo lugar, inclusive entre 1 e 2.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como a função mudou de sinal de negativo para positivo no intervalo (1,2) e é contínua, existe pelo menos uma raiz da equação nesse intervalo.

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