Prove que existe uma raiz da equação
no intervalo (1,2).
Passo 1
Beleza, a gente precisa provar que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 1 e 2. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua e muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função quando
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função quando
:
Então,
.
Passo 4
Observamos que
e
. A função mudou de negativa para positiva nesse intervalo. Como a função é um polinômio, ela é contínua em todo lugar, inclusive entre 1 e 2.
Resposta
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como a função mudou de sinal de negativo para positivo no intervalo (1,2) e é contínua, existe pelo menos uma raiz da equação
nesse intervalo.