Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.6.
: o segmento de reta de
até
7.6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é parte da matéria de Cálculo Vetorial. O exercício pede para calcular a integral
ao longo do segmento de reta
que vai do ponto
até
. Para fazer isso, vamos precisar parametrizar a curva
e então integrar usando as fórmulas de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de
até
. Uma forma simples de fazer isso é usar um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde
corresponde ao ponto inicial
e
ao ponto final
. A parametrização fica assim:
Aqui, subtraímos
de
e
de
para ir de
a
conforme
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas nos ajudam a substituir
e
na integral original.
Passo 4
Vamos substituir
,
,
, e
na integral:
Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Primeiro,
:
Agora,
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Continuando a simplificação:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida de 0 a 1, vamos calcular:
Resposta
O valor da integral de linha é
.