Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.6. integralc(y-x) cdot d x+x cdot y cdot d y
C : o segmento de reta de (3,4) até (2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é parte da matéria de Cálculo Vetorial. O exercício pede para calcular a integral integralC (y - x), dx + xy, dy ao longo do segmento de reta C que vai do ponto (3,4) até (2,1). Para fazer isso, vamos precisar parametrizar a curva C e então integrar usando as fórmulas de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de (3,4) até (2,1). Uma forma simples de fazer isso é usar um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde t=0 corresponde ao ponto inicial (3,4) e t=1 ao ponto final (2,1). A parametrização fica assim:
x(t) = 3 - t y(t) = 4 - 3t
Aqui, subtraímos t de x e 3t de y para ir de (3,4) a (2,1) conforme t varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = -1 dydt = -3
Essas derivadas nos ajudam a substituir dx e dy na integral original.

Passo 4

Vamos substituir x, y, dx, e dy na integral:
integralC (y - x), dx + xy, dy = integral0^1 [ (y(t) - x(t)) cdot dxdt + x(t) cdot y(t) cdot dydt ] dt
Substituindo as expressões que temos:
= integral0^1 [ (4 - 3t - (3 - t)) cdot (-1) + (3 - t)(4 - 3t) cdot (-3) ] dt

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Primeiro, y(t) - x(t):
4 - 3t - (3 - t) = 4 - 3t - 3 + t = 1 - 2t
Agora, x(t) cdot y(t):
(3 - t)(4 - 3t) = 12 - 9t - 4t + 3t^2 = 12 - 13t + 3t^2
Substituindo de volta na integral:
= integral0^1 [ (1 - 2t)(-1) + (12 - 13t + 3t^2)(-3) ] dt

Passo 6

Continuando a simplificação:
= integral0^1 [ -1 + 2t - 36 + 39t - 9t^2 ] dt = integral0^1 (-37 + 41t - 9t^2) dt

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral (-37 + 41t - 9t^2) dt = -37t + 412t^2 - 3t^3 + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida de 0 a 1, vamos calcular:
[ -37(1) + 412(1)^2 - 3(1)^3 ] - [ -37(0) + 412(0)^2 - 3(0)^3 ] = (-37 + 20.5 - 3) - 0 = -19.5

Resposta

O valor da integral de linha é -19,!5.

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