Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
15.2.
15.2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o trabalho que um campo de forças
realiza sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva
. Isso está relacionado ao conceito de trabalho em campos de força, que basicamente mede quanta energia é transferida quando uma força atua sobre uma partícula ao longo de um caminho. Para resolver, vamos usar cálculo de integrais de linha e precisa saber como parametrizar a curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
pela qual a partícula está se movendo. A curva está parametrizada por:
Aqui,
é o parâmetro que varia de 1 a 3. Isso significa que, à medida que
muda, os valores de
e
definem a posição da partícula ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor deslocamento
em termos de
. Sabemos que:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
A seguir, vamos substituir
e
na força
pela parametrização da curva:
Substituindo
e
:
Passo 5
O trabalho
realizado pelo campo de forças ao longo da curva
é dado pela integral de linha:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Juntando tudo:
Passo 8
Finalmente, substituímos os limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Então, o trabalho é:
Vamos simplificar:
Então,
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo da curva
é: