Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
15.2. F(x, y) = (x^2 + x * y) * i + (y - x^2 * y) * j
C: x = t, y = 1/t (1 <= t <= 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o trabalho que um campo de forças realiza sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva . Isso está relacionado ao conceito de trabalho em campos de força, que basicamente mede quanta energia é transferida quando uma força atua sobre uma partícula ao longo de um caminho. Para resolver, vamos usar cálculo de integrais de linha e precisa saber como parametrizar a curva .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva pela qual a partícula está se movendo. A curva está parametrizada por:
Aqui, é o parâmetro que varia de 1 a 3. Isso significa que, à medida que muda, os valores de e definem a posição da partícula ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor deslocamento em termos de . Sabemos que:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

A seguir, vamos substituir e na força pela parametrização da curva:
Substituindo e :

Passo 5

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Juntando tudo:

Passo 8

Finalmente, substituímos os limites de integração e :
Para :
Para :
Então, o trabalho é:
Vamos simplificar:
Então,

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é:

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