Encontre o valor exato de integralc F cdot d r usando qualquer método. (Ex 23 e 24)
22.2. F(x, y)=2 cdot x cdot y cdot i+(x^2+cos (y)) cdot j ;
C: r(t)=t cdot i+t cdot cos (t3) cdot j (0 <= t <= pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial que nos facilita o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo vetorial . Para verificar se é conservativo, precisamos ver se as derivadas parciais cruzadas satisfazem a condição de conservatividade. Isso significa que a derivada parcial da componente de em relação a deve ser igual à derivada parcial da componente em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partialpartial y(2xy) = 2x
partialpartial x(x^2 + cos(y)) = 2x
Como , o campo é realmente conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que .

Passo 4

Vamos encontrar a função potencial phi(x, y) = integral 2xy, dx = x^2 y + g(y) . Integrando a componente partial phipartial y = x^2 + g'(y) = x^2 + cos(y) de g'(y) = cos(y) implies g(y) = sin(y) + C em relação a phi(x, y) = x^2 y + sin(y) :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à componente de :
Isso nos dá:
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Como o campo é conservativo, a integral de linha phi(pi, pi2) = pi^2 cdot pi2 + sin(pi2) = pi^32 + 1 é igual à diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial da curva phi(0, 0) = 0 + sin(0) = 0 . A curva é dada por para .
Vamos encontrar os pontos final e inicial:
  • Quando :
  • Quando :
Agora, avaliamos a função potencial nesses pontos:

Resposta

O valor exato da integral é .

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