Encontre o valor exato de
usando qualquer método. (Ex 23 e 24)
22.2.
22.2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial que nos facilita o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo vetorial
. Para verificar se
é conservativo, precisamos ver se as derivadas parciais cruzadas satisfazem a condição de conservatividade. Isso significa que a derivada parcial da componente
de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial da componente
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é realmente conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Vamos encontrar a função potencial
. Integrando a componente
de
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à componente
de
:
Isso nos dá:
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Como o campo é conservativo, a integral de linha
é igual à diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial da curva
. A curva
é dada por
para
.
Vamos encontrar os pontos final e inicial:
- Quando
: - Quando
:
Agora, avaliamos a função potencial nesses pontos:
Resposta
O valor exato da integral é
.