Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
15.3. F(x, y, z) = (x * y) * i + (y * z) * j + (x * z) * k
C: r(t) = t * i + t^2 * j + t^3 * k (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos calcular o trabalho realizado por um campo de forças quando uma partícula se move ao longo de uma curva definida por para . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo vetorial, especificamente integração de linha para calcular o trabalho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva é calculado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de forças e é o diferencial de deslocamento ao longo da curva .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando o parâmetro . A curva já está dada por . O próximo passo é encontrar , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas , , e da curva na expressão do campo de forças :
Então,

Passo 5

Agora, calculamos o produto ponto :

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho :
Calculando a integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é unidades de trabalho.

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