Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
integralc x^2 cdot d x+x cdot y cdot d y+z^2 cdot d z
C: x=sen(t), y=cos (t), z=t^2 (0 <= t <= pi2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integralC x^2 , dx + x cdot y , dy + z^2 , dz
ao longo da curva x = sin(t), y = cos(t), z = t^2, onde 0 <= t <= pi2 definida pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar o conceito de integração de linha, que envolve parametrizar a curva e substituir as variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar a curva. Aqui, a curva está definida em termos de um parâmetro , que varia de a . Isso significa que, para cada valor de nesse intervalo, temos um ponto na curva dado por .

Passo 3

Agora, vamos substituir as variáveis x = sin(t), y = cos(t), z = t^2 , e na integral pelos seus valores parametrizados:
Isso nos ajuda a expressar a integral em termos de , facilitando o cálculo.

Passo 4

Precisamos também calcular as derivadas de dxdt = cos(t), dydt = -sin(t), dzdt = 2t , e em relação a , ou seja, , e :
Essas derivadas serão usadas para substituir , e na integral original.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi2 [ (sin(t))^2 cdot cos(t) + sin(t) cdot cos(t) cdot (-sin(t)) + (t^2)^2 cdot 2t ] dt
Aqui, substituímos , , , , e pelas expressões em termos de .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(sin(t))^2 cdot cos(t) + sin(t) cdot cos(t) cdot (-sin(t)) + (t^2)^2 cdot 2t = (sin^2t cos t) - (sin^2t cos t) + 2t^5
Perceba que os dois primeiros termos se cancelam!

Passo 7

Com os termos cancelados, a integral fica mais simples:
integral0^pi2 2t^5 , dt
Agora, só precisamos calcular essa integral.

Passo 8

Calculando a integral de integral 2t^5 , dt = 2 cdot t^66 = t^63 em relação a :

Passo 9

Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de t^63 |0^pi2 = (pi2)^63 - 0^63 = pi^63 cdot 2^6 = pi^6192 a :

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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