Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
ao longo da curva definida pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar o conceito de integração de linha, que envolve parametrizar a curva e substituir as variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar a curva. Aqui, a curva está definida em termos de um parâmetro , que varia de a . Isso significa que, para cada valor de nesse intervalo, temos um ponto na curva dado por .
Passo 3
Agora, vamos substituir as variáveis , e na integral pelos seus valores parametrizados:
Isso nos ajuda a expressar a integral em termos de , facilitando o cálculo.
Passo 4
Precisamos também calcular as derivadas de , e em relação a , ou seja, , e :
Essas derivadas serão usadas para substituir , e na integral original.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Aqui, substituímos , , , , e pelas expressões em termos de .
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Perceba que os dois primeiros termos se cancelam!
Passo 7
Com os termos cancelados, a integral fica mais simples:
Agora, só precisamos calcular essa integral.
Passo 8
Calculando a integral de em relação a :
Passo 9
Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de a :