Calcule a integral de linha ao longo da curva C.
integralC(x+2 y) d x+(x-y) d y
C: x(t)=2 cos t, y=4 sen t, (0 <= t <= pi4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva integralC (x + 2y) , dx + (x - y) , dy . A expressão que temos é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e depois substituir os valores na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = 2 cos t, y(t) = 4 sin t, 0 <= t <= pi4 . Foi dado que:
Isso significa que quando varia de a , a curva é traçada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dxdt = -2 sin t, dydt = 4 cos t e em relação a , ou seja, e :

Passo 4

A próxima etapa é substituir integral0^pi4 [ (x(t) + 2y(t)) cdot dxdt + (x(t) - y(t)) cdot dydt ] dt , integral0^pi4 [ (2 cos t + 2 cdot 4 sin t) cdot (-2 sin t) + (2 cos t - 4 sin t) cdot 4 cos t ] dt , e na integral de linha original. A integral de linha em termos de fica:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
= integral0^pi4 [ (2 cos t + 8 sin t)(-2 sin t) + (2 cos t - 4 sin t)(4 cos t) ] dt
Multiplicando os termos:
= integral0^pi4 [ -4 cos t sin t - 16 sin^2 t + 8 cos^2 t - 16 sin t cos t ] dt
Agrupando termos semelhantes:
= integral0^pi4 [ ( -4 cos t sin t - 16 sin t cos t ) + (-16 sin^2 t + 8 cos^2 t ) ] dt
= integral0^pi4 [ -20 cos t sin t -16 sin^2 t + 8 cos^2 t ] dt

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para -20 cos t sin t = -10 sin 2t :
Usamos a identidade -10 integral0^pi4 sin 2t , dt = -10 [ -12 cos 2t ]0^pi4 = 5 [cos pi2 - cos 0] = 5 (0 - 1) = -5 , então:
-16 sin^2 t = -8 (1 - cos 2t)
Integral:
-8 integral0^pi4 (1 - cos 2t) , dt = -8 [ t - 12 sin 2t ]0^pi4 = -8 [ pi4 - 12 sin pi2 - 0 ] = -8 ( pi4 - 12 ) = -2pi + 4
Para 8 cos^2 t = 4 (1 + cos 2t) :
Usamos a identidade 4 integral0^pi4 (1 + cos 2t) , dt = 4 [ t + 12 sin 2t ]0^pi4 = 4 [ pi4 + 12 sin pi2 - 0 ] = 4 ( pi4 + 12 ) = pi + 2 :
Integral:
Para :
Usamos a identidade :
Integral:

Passo 7

Agora, somamos os resultados das três integrais:
-5 + (-2pi + 4) + (pi + 2) = -5 -2pi +4 +pi +2 = (-5 +4 +2) + (-2pi + pi) = 1 - pi

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados