Calcule a integral de linha ao longo da curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva . A expressão que temos é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e depois substituir os valores na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Foi dado que:
Isso significa que quando varia de a , a curva é traçada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a , ou seja, e :

Passo 4

A próxima etapa é substituir , , e na integral de linha original. A integral de linha em termos de fica:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Multiplicando os termos:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para :
Usamos a identidade , então:
Integral:
Para :
Usamos a identidade :
Integral:
Para :
Usamos a identidade :
Integral:

Passo 7

Agora, somamos os resultados das três integrais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice , sent, , se a função densidade for , com .
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de até .
Resolva a equação diferencial separável: