Calcule a integral de linha ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva
. A expressão que temos é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
e depois substituir os valores na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Foi dado que:
Isso significa que quando
varia de
a
, a curva
é traçada.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, ou seja,
e
:
Passo 4
A próxima etapa é substituir
,
,
e
na integral de linha original. A integral de linha em termos de
fica:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Multiplicando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para
:
Usamos a identidade , então:
Usamos a identidade
Integral:
Para
:
Usamos a identidade :
Usamos a identidade
Integral:
Para
:
Usamos a identidade :
Usamos a identidade
Integral:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das três integrais:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice
,
sent,
, se a função densidade for
, com
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move ao longo da curva
.
de
até
.
Resolva a equação diferencial separável: