Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move ao longo da curva
.
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças
quando uma partícula se move ao longo da curva
definida por
, indo de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como a curva é dada por
, podemos escolher
como nosso parâmetro. Vamos chamar
, onde
varia de 0 a 1 (já que vamos de
a
).
Então, a parametrização fica:
para
em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas representam os componentes do vetor diferencial
, que é:
Passo 4
Vamos expressar o campo de forças
em termos do parâmetro
. Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 5
O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:
Agora, integramos isso de 0 a 1:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo da curva
é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha ao longo da curva
.
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Resolva a equação diferencial separável:
Resolva o problema do valor inicial:
.