Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo da curva
definida pelas equações paramétricas
e
no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha, especificamente envolvendo parametrizações de curvas. Para resolver, vamos precisar saber como parametrizar a curva, calcular a derivada dos parâmetros e aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de linha
. Aqui,
representa um elemento de comprimento ao longo da curva
. Quando temos uma curva parametrizada por
, podemos expressar
em termos de
usando a fórmula:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
pelas equações dadas:
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral:
Para facilitar, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazemos a substituição
, então
ou
.
Substituindo:
Substituindo:
Avaliado de 0 a 1:
Segunda integral:
Essa integral é um pouco mais complicada e pode ser resolvida por substituição ou métodos de integração por partes, mas para simplificar, vamos calcular numericamente:
Resposta
A integral de linha ao longo de
é aproximadamente
.
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,
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, com
.
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.
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.
de
até
.