Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo da curva definida pelas equações paramétricas e no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha, especificamente envolvendo parametrizações de curvas. Para resolver, vamos precisar saber como parametrizar a curva, calcular a derivada dos parâmetros e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de linha . Aqui, representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Quando temos uma curva parametrizada por , podemos expressar em termos de usando a fórmula:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir e pelas equações dadas:
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral:
Para facilitar, podemos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazemos a substituição , então ou .
Substituindo:
Avaliado de 0 a 1:
Segunda integral:
Essa integral é um pouco mais complicada e pode ser resolvida por substituição ou métodos de integração por partes, mas para simplificar, vamos calcular numericamente:
çã

Resposta

A integral de linha ao longo de é aproximadamente .

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de até .