Seja C a curva representada pelas equações
x=2 t, y=3 t^2 (0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de C.
integralC(x-y) d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo da curva definida pelas equações paramétricas e no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha, especificamente envolvendo parametrizações de curvas. Para resolver, vamos precisar saber como parametrizar a curva, calcular a derivada dos parâmetros e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de linha ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . Aqui, integralC (x - y) , ds = integral0^1 (x(t) - y(t)) raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Quando temos uma curva parametrizada por , podemos expressar em termos de usando a fórmula:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir x(t) = 2t e y(t) = 3t^2 e dxdt = 2 e dydt = 6t pelas equações dadas:
ds = raiz(2)^2 + (6t)^2 , dt = raiz4 + 36t^2 , dt
Calculando as derivadas:
ds = 2raiz1 + 9t^2 , dt
Substituindo na fórmula de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral:
integral0^1 (2t - 3t^2) cdot 2raiz1 + 9t^2 , dt = 2 integral0^1 (2t - 3t^2) raiz1 + 9t^2 , dt
Para facilitar, podemos separar a integral em duas partes:
2 [ integral0^1 2t raiz1 + 9t^2 , dt - integral0^1 3t^2 raiz1 + 9t^2 , dt ]

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral 2t raiz1 + 9t^2 , dt
Fazemos a substituição integral 2t raizu , dt = 218 integral raizu , du = 19 cdot 23 u^3/2 + C = 227 (1 + 9t^2)^3/2 + C , então 227 [ (1 + 9(1)^2)^3/2 - (1 + 9(0)^2)^3/2 ] = 227 (10^3/2 - 1) approx 227 (31.6228 - 1) approx 227 times 30.6228 approx 2.267 ou integral 3t^2 raiz1 + 9t^2 , dt .
Substituindo:
integral0^1 3t^2 raiz1 + 9t^2 , dt approx 2.267 (aproximação)
Avaliado de 0 a 1:
Segunda integral:
Essa integral é um pouco mais complicada e pode ser resolvida por substituição ou métodos de integração por partes, mas para simplificar, vamos calcular numericamente:
çã

Resposta

A integral de linha ao longo de é aproximadamente .

Exercícios relacionados