Resolva a equação diferencial separável:
y' = -(t^2 + 2) / y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais separáveis, que é um tópico importante em cálculo. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e para integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever como para deixar tudo mais claro:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por e multiplicar por :
Isso nos deixa com cada variável de um lado da equação, facilitando a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja igual ao que está dentro da integral. Então, integramos cada lado:

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
  • Integral do lado esquerdo:
  • Integral do lado direito:
Aqui, e são constantes de integração, mas podemos simplificar combinando elas em uma única constante .

Passo 6

Vamos juntar tudo e simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 2 para deixar isolado:
Onde ainda é uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante de integração.

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