Resolva a equação diferencial separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais separáveis, que é um tópico importante em cálculo. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
como
para deixar tudo mais claro:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
e multiplicar por
:
Isso nos deixa com cada variável de um lado da equação, facilitando a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja igual ao que está dentro da integral. Então, integramos cada lado:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
- Integral do lado esquerdo:
- Integral do lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração, mas podemos simplificar combinando elas em uma única constante
.
Passo 6
Vamos juntar tudo e simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 2 para deixar
isolado:
Onde
ainda é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.
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na partícula que se move ao longo da curva
.
de
até
.
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.
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.
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.