Calcule a integral de linha ointC(y^2+z^2) d x+(z^2+x^3) d y+(y^2+x^3) d z onde C é a curva intersecção do cone y=raizx^2+z^2 com a esfera x^2+y^2+z^2=2 orientada no sentido horário quando C é vista da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha ointC(y^2+z^2) dx+(z^2+x^3) dy+(y^2+x^3) dz. A curva C é a intersecção entre o cone y=raizx^2+z^2 e a esfera x^2+y^2+z^2=2. Vamos usar o cálculo vetorial, especificamente o teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície. Para isso, vamos precisar encontrar o rotacional do campo vetorial e definir uma superfície limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F da integral de linha:
F = (y^2+z^2)i + (z^2+x^3)j + (y^2+x^3)k
Precisamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Para i:
partial Fzpartial y = 2y e partial Fypartial z = 2z
Então:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 2y - 2z
  1. Para j:
partial Fxpartial z = 2z e partial Fzpartial x = 3x^2
Então:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 2z - 3x^2
  1. Para k:
partial Fypartial x = 3x^2 e partial Fxpartial y = 2y
Então:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 3x^2 - 2y
Portanto, o rotacional de F é:
nabla times F = (2y - 2z)i + (2z - 3x^2)j + (3x^2 - 2y)k

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja fronteira seja a curva C. Uma boa escolha é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=2 que está acima do cone y=raizx^2+z^2. Vamos parametrizar essa superfície usando coordenadas esféricas.
Nas coordenadas esféricas:
x = rsinphicostheta y = rsinphisintheta z = rcosphi
Como a esfera tem raio raiz2, temos r = raiz2.

Passo 5

Precisamos encontrar os limites de integração para phi e theta. A intersecção da esfera com o cone y = raizx^2+z^2 ocorre quando:
raizx^2+z^2 = y1 = rsinphisintheta1
Substituindo x, y, z:
raiz(rsinphicostheta)^2 + (rcosphi)^2 = rsinphisintheta
Simplificando:
rraizsin^2phicos^2theta + cos^2phi = rsinphisintheta
Dividindo ambos os lados por r e quadrando:
sin^2phicos^2theta + cos^2phi = sin^2phisin^2theta
Após simplificar, obtemos phi = pi4.

Passo 6

Com phi = pi4, os limites de integração para phi vão de 0 a pi4. O ângulo theta varia de 0 a 2pi.
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 7

Calculamos o vetor normal n para a esfera. Em coordenadas esféricas, para a esfera de raio r, o vetor normal é:
n = r|r| = sinphicostheta i + sinphisintheta j + cosphi k
E o elemento de área dS em coordenadas esféricas é:
dS = r^2sinphi , dphi , dtheta
Como r = raiz2, então dS = 2sinphi , dphi , dtheta.

Passo 8

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral0^2pi integral0^pi4 [(2y - 2z)sinphicostheta + (2z - 3x^2)sinphisintheta + (3x^2 - 2y)cosphi] cdot 2sinphi , dphi , dtheta
Substituindo x, y, z em termos de phi e theta.

Passo 9

Após a substituição e simplificação das expressões trigonométricas, integramos em relação a phi e theta. Devido à simetria, muitos termos podem se cancelar ou simplificar.

Passo 10

Finalmente, após realizar todas as integrações, obtemos o valor final da integral de linha.

Resposta

A integral de linha vale 0.

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