Calcule a integral de linha onde C é a curva intersecção do cone com a esfera orientada no sentido horário quando é vista da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha . A curva é a intersecção entre o cone e a esfera . Vamos usar o cálculo vetorial, especificamente o teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície. Para isso, vamos precisar encontrar o rotacional do campo vetorial e definir uma superfície limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial da integral de linha:
Precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:
Portanto, o rotacional de é:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja fronteira seja a curva . Uma boa escolha é a parte da esfera que está acima do cone . Vamos parametrizar essa superfície usando coordenadas esféricas.
Nas coordenadas esféricas:
Como a esfera tem raio , temos .

Passo 5

Precisamos encontrar os limites de integração para e . A intersecção da esfera com o cone ocorre quando:
Substituindo , , :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por e quadrando:
Após simplificar, obtemos .

Passo 6

Com , os limites de integração para vão de a . O ângulo varia de a .
Agora, a integral de superfície fica:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 7

Calculamos o vetor normal para a esfera. Em coordenadas esféricas, para a esfera de raio , o vetor normal é:
E o elemento de área em coordenadas esféricas é:
Como , então .

Passo 8

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Substituindo , , em termos de e .

Passo 9

Após a substituição e simplificação das expressões trigonométricas, integramos em relação a e . Devido à simetria, muitos termos podem se cancelar ou simplificar.

Passo 10

Finalmente, após realizar todas as integrações, obtemos o valor final da integral de linha.

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Considere as funções e . Estabeleça o maior intervalo do dominio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de e neste intervalo.
Calcule uma das seguintes integrais
Indique a técnica e resolva as integrais abaixo:
  • Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo