Calcule a integral de linha
onde C é a curva intersecção do cone
com a esfera
orientada no sentido horário quando
é vista da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha
. A curva
é a intersecção entre o cone
e a esfera
. Vamos usar o cálculo vetorial, especificamente o teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície. Para isso, vamos precisar encontrar o rotacional do campo vetorial e definir uma superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
da integral de linha:
Precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Para
:
Então:
- Para
:
Então:
- Para
:
Então:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja fronteira seja a curva
. Uma boa escolha é a parte da esfera
que está acima do cone
. Vamos parametrizar essa superfície usando coordenadas esféricas.
Nas coordenadas esféricas:
Como a esfera tem raio
, temos
.
Passo 5
Precisamos encontrar os limites de integração para
e
. A intersecção da esfera com o cone
ocorre quando:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
e quadrando:
Após simplificar, obtemos
.
Passo 6
Com
, os limites de integração para
vão de
a
. O ângulo
varia de
a
.
Agora, a integral de superfície fica:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 7
Calculamos o vetor normal
para a esfera. Em coordenadas esféricas, para a esfera de raio
, o vetor normal é:
E o elemento de área
em coordenadas esféricas é:
Como
, então
.
Passo 8
Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Substituindo
,
,
em termos de
e
.
Passo 9
Após a substituição e simplificação das expressões trigonométricas, integramos em relação a
e
. Devido à simetria, muitos termos podem se cancelar ou simplificar.
Passo 10
Finalmente, após realizar todas as integrações, obtemos o valor final da integral de linha.
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
. Estabeleça o maior intervalo do dominio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de
e
neste intervalo.
Calcule uma das seguintes integrais
Indique a técnica e resolva as integrais abaixo:
- Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
b)
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição. Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo