Indique a técnica e resolva as integrais abaixo:
l integral xraizx^2+4 d x integral x cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas integrais para resolver:
l integral xraizx^2+4 , dx integral x cos 2x , dx
Vamos usar técnicas de substituição e integração por partes para resolver cada uma delas.

Passo 2

Primeira Integral:
Aqui, vamos usar a substituição. Observa que o numerador é a derivada de , que está dentro da raiz. Isso sugere que podemos simplificar a integral fazendo uma substituição estratégica.

Passo 3

Vamos definir dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral xraizx^2+4 , dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 , du

Passo 5

Integrando 12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot ( 2u^1/2 ) + C = raizu + C :
raizx^2 + 4 + C
Substituindo :

Passo 6

Segunda Integral: integral u , dv = uv - integral v , du
Para essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:

Passo 7

Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos 2x , dx Rightarrow v = integral cos 2x , dx = 12 sin 2x

Passo 8

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cos 2x , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot ( 12 sin 2x ) - integral 12 sin 2x , dx
= x2 sin 2x - 12 integral sin 2x , dx

Passo 9

Integrando integral sin 2x , dx = -12 cos 2x + C :
x2 sin 2x - 12 ( -12 cos 2x ) + C = x2 sin 2x + 14 cos 2x + C
Então:

Resposta

As integrais resolvidas são:
integral xraizx^2+4 , dx = raizx^2 + 4 + C
integral x cos 2x , dx = x2 sin 2x + 14 cos 2x + C

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