Indique a técnica e resolva as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas integrais para resolver:
Vamos usar técnicas de substituição e integração por partes para resolver cada uma delas.

Passo 2

Primeira Integral:
Aqui, vamos usar a substituição. Observa que o numerador é a derivada de , que está dentro da raiz. Isso sugere que podemos simplificar a integral fazendo uma substituição estratégica.

Passo 3

Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na integral original:

Passo 5

Integrando :
Substituindo :

Passo 6

Segunda Integral:
Para essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:

Passo 7

Escolhemos:

Passo 8

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 9

Integrando :
Então:

Resposta

As integrais resolvidas são:

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  • Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo
Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)