Considere as funções
e
. Estabeleça o maior intervalo do dominio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de
e
neste intervalo.
Passo 1
Então, temos duas funções:
e
. Nosso objetivo é encontrar o maior intervalo onde
e calcular a área entre os gráficos dessas funções nesse intervalo. Vamos precisar entender sobre domínio de funções, resolver inequações e calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio comum das duas funções. A função
está definida para
, já que não podemos tirar raiz quadrada de números negativos. A função
está definida para todo
, mas como queremos o domínio comum, consideramos apenas
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
. Para isso, vamos igualar as duas funções e encontrar os pontos de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a inequação
no intervalo
. Para isso, podemos testar valores dentro desse intervalo:
- Para
: e , então é verdadeiro. - Para
: e , então é verdadeiro. - Para
: e , então é verdadeiro.
Isso mostra que a inequação é válida em todo o intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área entre as duas curvas no intervalo
. A área entre duas funções
e
de
a
é dada por:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos
:
Então, sobre
:
Agora, integramos
:
Então, sobre
:
Resposta
A área entre os gráficos de
e
no intervalo
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule uma das seguintes integrais
- Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
а)
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição. Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
a) Lembre da propriedade do logaritmo:.
Calcule a integral de linha
onde C é a curva intersecção do cone
com a esfera
orientada no sentido horário quando
é vista da origem.
Indique a técnica e resolva as integrais abaixo: