Considere as funções f(x) = raiz(x) e g(x) = x / 3. Estabeleça o maior intervalo do dominio comum a ambas tal que
f(x) ≥ g(x)
Calcule a área entre os gráficos de f(x) e g(x) neste intervalo.

Passo 1

Então, temos duas funções: e . Nosso objetivo é encontrar o maior intervalo onde e calcular a área entre os gráficos dessas funções nesse intervalo. Vamos precisar entender sobre domínio de funções, resolver inequações e calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio comum das duas funções. A função está definida para , já que não podemos tirar raiz quadrada de números negativos. A função está definida para todo , mas como queremos o domínio comum, consideramos apenas .

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação . Para isso, vamos igualar as duas funções e encontrar os pontos de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos analisar a inequação no intervalo . Para isso, podemos testar valores dentro desse intervalo:
  • Para : e , então é verdadeiro.
  • Para : e , então é verdadeiro.
  • Para : e , então é verdadeiro.
Isso mostra que a inequação é válida em todo o intervalo .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área entre as duas curvas no intervalo . A área entre duas funções e de a é dada por:
Á
Aqui, e , então:
Á

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos :
Então, sobre :
Agora, integramos :
Então, sobre :

Resposta

A área entre os gráficos de e no intervalo é unidades quadradas.

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