- Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
b)
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição
. Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo
b)
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição
b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que soma logaritmos de termos da forma
. O conteúdo principal aqui envolve séries infinitas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de soma parcial e limite, além de propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
A dica nos diz para reescrever a série de uma forma mais simples. Vamos transformar cada termo
usando propriedades dos logaritmos. Observamos que:
Assim, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série inteira usando essa simplificação:
Podemos reorganizar os termos:
Passo 4
Vamos ajustar os índices das somas para facilitar o cancelamento dos termos. Observe que na segunda soma, se fizermos uma mudança de índice
, teremos:
Agora, a série fica:
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos das somas para ver o padrão de cancelamento:
Quando somamos essas duas séries, vemos que muitos termos se cancelam:
Os termos
e
se cancelam, assim como os demais.
Passo 6
Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondência para se cancelar:
Além disso, existe um termo que se aproxima de zero quando
tende ao infinito:
Portanto, a soma total da série é apenas
.
Resposta
A série converge e a soma é
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Indique a técnica e resolva as integrais abaixo:
Calcule a integral de linha
onde C é a curva intersecção do cone
com a esfera
orientada no sentido horário quando
é vista da origem.
Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
Considere o arco da parábola
variando de
até
girado ao redor do eixo
. Encontre a área da superfície resultante.