• Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que soma logaritmos de termos da forma . O conteúdo principal aqui envolve séries infinitas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de soma parcial e limite, além de propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

A dica nos diz para reescrever a série de uma forma mais simples. Vamos transformar cada termo usando propriedades dos logaritmos. Observamos que:
Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série inteira usando essa simplificação:
Podemos reorganizar os termos:

Passo 4

Vamos ajustar os índices das somas para facilitar o cancelamento dos termos. Observe que na segunda soma, se fizermos uma mudança de índice , teremos:
Agora, a série fica:

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos das somas para ver o padrão de cancelamento:
Quando somamos essas duas séries, vemos que muitos termos se cancelam:
Os termos e se cancelam, assim como os demais.

Passo 6

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondência para se cancelar:
Além disso, existe um termo que se aproxima de zero quando tende ao infinito:
Portanto, a soma total da série é apenas .

Resposta

A série converge e a soma é , ou seja, .

Exercícios relacionados

Indique a técnica e resolva as integrais abaixo:
Calcule a integral de linha onde C é a curva intersecção do cone com a esfera orientada no sentido horário quando é vista da origem.
Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
Considere o arco da parábola variando de até girado ao redor do eixo . Encontre a área da superfície resultante.