• Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b) ln (1-14)+ln (1-19)+ln (1-116)+cdots+ln (1-1(n+1)^2)+cdots
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição sumn=1^infty an=lim N infty sumn=1^N an. Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo sumn=2^infty(ln (n-1n)-ln (nn+1))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que soma logaritmos de termos da forma . O conteúdo principal aqui envolve séries infinitas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de soma parcial e limite, além de propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

A dica nos diz para reescrever a série de uma forma mais simples. Vamos transformar cada termo 1 - 1(n+1)^2 = (n+1)^2 - 1(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 - 1(n+1)^2 = n(n+2)(n+1)^2 usando propriedades dos logaritmos. Observamos que:
ln(1 - 1(n+1)^2) = ln(n(n+2)(n+1)^2) = ln(nn+1) + ln(n+2n+1)
Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série inteira usando essa simplificação:
sumn=2^infty ln(1 - 1(n+1)^2) = sumn=2^infty [ ln(nn+1) + ln(n+2n+1) ]
Podemos reorganizar os termos:
= sumn=2^infty ln(nn+1) + sumn=2^infty ln(n+2n+1)

Passo 4

Vamos ajustar os índices das somas para facilitar o cancelamento dos termos. Observe que na segunda soma, se fizermos uma mudança de índice sumn=2^infty ln(n+2n+1) = summ=4^infty ln(mm-1) , teremos:
sumn=2^infty ln(nn+1) + summ=4^infty ln(mm-1)
Agora, a série fica:

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos das somas para ver o padrão de cancelamento:
sumn=2^infty ln(nn+1) &= ln(23) + ln(34) + ln(45) + cdots summ=4^infty ln(mm-1) &= ln(43) + ln(54) + ln(65) + cdots
Quando somamos essas duas séries, vemos que muitos termos se cancelam:
ln(23) + ln(34) + ln(45) + cdots + ln(43) + ln(54) + ln(65) + cdots
Os termos e se cancelam, assim como os demais.

Passo 6

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondência para se cancelar:
ln(23)
Além disso, existe um termo que se aproxima de zero quando limN to infty ln(NN+1) = ln(1) = 0 tende ao infinito:
Portanto, a soma total da série é apenas .

Resposta

A série converge e a soma é , ou seja, .

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