Calcule uma das seguintes integrais

Passo 1

Beleza! Vamos resolver uma das integrais que você enviou. Vou pegar a primeira:
Aqui, vamos trabalhar com integração de funções racionais, especificamente resolvendo uma fração que envolve um polinômio quadrático no denominador. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador .
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática na forma , onde e são números que determinamos.
Vamos lá:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da expressão:
Portanto, o denominador fica:

Passo 3

Agora que completamos o quadrado, nossa integral fica assim:
Essa forma é reconhecível e sabemos que a integral de em relação a é , onde é a constante de integração.
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração:
Aqui, usamos a antiderivada da função tangente inversa, que é adequada para a forma .

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

  • Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    а)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    a) Lembre da propriedade do logaritmo: .
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Considere as funções e . Estabeleça o maior intervalo do dominio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de e neste intervalo.
Calcule a integral de linha onde C é a curva intersecção do cone com a esfera orientada no sentido horário quando é vista da origem.