Calcule uma das seguintes integrais
Passo 1
Beleza! Vamos resolver uma das integrais que você enviou. Vou pegar a primeira:
Aqui, vamos trabalhar com integração de funções racionais, especificamente resolvendo uma fração que envolve um polinômio quadrático no denominador. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador
.
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática na forma
, onde
e
são números que determinamos.
Vamos lá:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da expressão:
Portanto, o denominador fica:
Passo 3
Agora que completamos o quadrado, nossa integral fica assim:
Essa forma é reconhecível e sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração:
Aqui, usamos a antiderivada da função tangente inversa, que é adequada para a forma
.
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.