Calcule uma das seguintes integrais
Passo 1
Beleza! Vamos resolver uma das integrais que você enviou. Vou pegar a primeira:
Aqui, vamos trabalhar com integração de funções racionais, especificamente resolvendo uma fração que envolve um polinômio quadrático no denominador. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador
.
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática na forma
, onde
e
são números que determinamos.
Vamos lá:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da expressão:
Portanto, o denominador fica:
Passo 3
Agora que completamos o quadrado, nossa integral fica assim:
Essa forma é reconhecível e sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração:
Aqui, usamos a antiderivada da função tangente inversa, que é adequada para a forma
.
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
- Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
а)
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição. Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
a) Lembre da propriedade do logaritmo:.
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Considere as funções
e
. Estabeleça o maior intervalo do dominio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de
e
neste intervalo.
Calcule a integral de linha
onde C é a curva intersecção do cone
com a esfera
orientada no sentido horário quando
é vista da origem.