Resolva os seguintes problemas de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um problema de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada. O que isso basicamente significa é que temos uma equação diferencial que descreve como uma certa quantidade varia no espaço e no tempo, sujeita a condições específicas nas bordas e no início do tempo. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de funções trigonométricas (as séries de Fourier).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que estamos lidando:
Essa é uma equação da onda, onde pode representar, por exemplo, o deslocamento de uma corda em movimento. As condições de contorno são:
E as condições iniciais são:

Passo 3

Vamos assumir que a solução pode ser separada em uma parte que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, escrevemos .
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações separadas:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos focar na equação de :
Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem cuja solução depende do valor de .

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para encontrar os possíveis valores de (autovalores) e as funções (autofunções).
Primeira condição: implica .
Segunda condição: implica .
Resolvendo a equação de com essas condições, encontramos que os autovalores são:
E as autofunções correspondentes são:

Passo 6

Agora, podemos escrever a solução geral da equação da onda como uma série infinita das autofunções encontradas:
Aqui, e são coeficientes que determinamos usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição inicial: .
Substituindo na solução geral:
Segunda condição inicial: .
Derivando a solução geral em relação ao tempo e avaliando em :
Isso implica que para todos os .
Os coeficientes são determinados pela expansão de em termos das autofunções . Calculando, encontramos:

Resposta

A solução da equação de valor de contorno dada é:

Exercícios relacionados

Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
a) O Plutônio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q , presente.
b) A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.
c) Para certa substância, a razão de variação da pressão do vapor § em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.
d) Força= massa x aceleração.
Use o Teorema de Green para calcular , onde é o círculo .
Calcule a integral de linha , onde é a elipse .
Encontre a integral de linha , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário.