Resolva os seguintes problemas de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um problema de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada. O que isso basicamente significa é que temos uma equação diferencial que descreve como uma certa quantidade varia no espaço e no tempo, sujeita a condições específicas nas bordas e no início do tempo. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de funções trigonométricas (as séries de Fourier).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que estamos lidando:
Essa é uma equação da onda, onde pode representar, por exemplo, o deslocamento de uma corda em movimento. As condições de contorno são:
E as condições iniciais são:
Passo 3
Vamos assumir que a solução pode ser separada em uma parte que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, escrevemos .
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações separadas:
Para :
Para :
Vamos focar na equação de :
Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem cuja solução depende do valor de .
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para encontrar os possíveis valores de (autovalores) e as funções (autofunções).
Primeira condição: implica .
Segunda condição: implica .
Resolvendo a equação de com essas condições, encontramos que os autovalores são:
E as autofunções correspondentes são:
Passo 6
Agora, podemos escrever a solução geral da equação da onda como uma série infinita das autofunções encontradas:
Aqui, e são coeficientes que determinamos usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição inicial: .
Substituindo na solução geral:
Segunda condição inicial: .
Derivando a solução geral em relação ao tempo e avaliando em :
Isso implica que para todos os .
Os coeficientes são determinados pela expansão de em termos das autofunções . Calculando, encontramos: