Resolva os seguintes problemas de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um problema de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada. O que isso basicamente significa é que temos uma equação diferencial que descreve como uma certa quantidade varia no espaço e no tempo, sujeita a condições específicas nas bordas e no início do tempo. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de funções trigonométricas (as séries de Fourier).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que estamos lidando:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < 1, t > 0
Essa é uma equação da onda, onde u(0, t) = 0 e partial upartial x|x=1 = 0, t > 0 pode representar, por exemplo, o deslocamento de uma corda em movimento. As condições de contorno são:
u(x, 0) = x e partial upartial t|t=0 = 0, 0 < x < 1
E as condições iniciais são:
Passo 3
Vamos assumir que a solução pode ser separada em uma parte que depende apenas de a^2 X''(x) T(t) = X(x) T''(t) e outra que depende apenas de a^2 X''(x)X(x) = T''(t)T(t) = -lambda . Ou seja, escrevemos .
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações separadas:
Para a^2 X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + lambda T(t) = 0
Para X''(x) + lambdaa^2 X(x) = 0 :
Vamos focar na equação de :
Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem cuja solução depende do valor de .
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para encontrar os possíveis valores de lambdan = ((2n+1)pi2a)^2, n = 0, 1, 2, ldots (autovalores) e as funções Xn(x) = sin((2n+1)pi x2a) (autofunções).
Primeira condição: implica .
Segunda condição: implica .
Resolvendo a equação de com essas condições, encontramos que os autovalores são:
E as autofunções correspondentes são:
Passo 6
Agora, podemos escrever a solução geral da equação da onda como uma série infinita das autofunções encontradas:
u(x, t) = sumn=0^infty [ An cos((2n+1)pi a t2) + Bn sin((2n+1)pi a t2) ] sin((2n+1)pi x2)
Aqui, e são coeficientes que determinamos usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar x = sumn=0^infty An sin((2n+1)pi x2) e 0 = sumn=0^infty (2n+1)pi a2 Bn sin((2n+1)pi x2) .
Primeira condição inicial: An = 4(2n+1)pi (-1)^n .
Substituindo na solução geral:
Segunda condição inicial: .
Derivando a solução geral em relação ao tempo e avaliando em :
Isso implica que para todos os .
Os coeficientes são determinados pela expansão de em termos das autofunções . Calculando, encontramos: