Calcule a integral de linha onde C é o triângulo equilátero de vértices e orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Precisamos calcular a integral de linha
onde C é um triângulo equilátero com vértices em , e , orientado no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha em campos vetoriais.
O que vamos precisar: Aplicar o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, lembremos do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. A fórmula do teorema é:
Aqui, é o campo vetorial dado, é a curva fechada (nosso triângulo), e é a superfície delimitada por .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo vetorial , ou seja, .
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos determinar a superfície limitada pela curva . Como é um triângulo, vamos escolher como sendo esse próprio triângulo. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular a integral de superfície:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a área do triângulo com vértices em , e .
Definimos dois vetores que formam o triângulo:
Passo 6
O vetor área do triângulo é dado pelo produto vetorial desses dois vetores:
Como a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial:
A = 12 times 8raiz3 = 4raiz3
Passo 8
Agora, calculamos a integral de superfície usando a rotacional encontrada e a área do triângulo:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS (0,0,2) cdot (12, 0, -4raiz3), dS = 0 cdot 12 + 0 cdot 0 + 2 cdot (-4raiz3) = -8raiz3
Ajustando a orientação: Como a curva -8raiz3 times (-1) = 8raiz3 está orientada no sentido anti-horário, precisamos inverter o sinal para que a orientação do vetor normal esteja correta. Portanto: