Calcule a integral de linha ointC(8 x-2 y) d x+y d y+3 z d z onde C é o triângulo equilátero de vértices P(2,2,0), Q(2,6,0) e R(2+raiz3, 4,3) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Precisamos calcular a integral de linha
ointC (8x - 2y), dx + y, dy + 3z, dz
onde C é um triângulo equilátero com vértices em , e , orientado no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha em campos vetoriais.
O que vamos precisar: Aplicar o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, lembremos do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. A fórmula do teorema é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Aqui, é o campo vetorial dado, é a curva fechada (nosso triângulo), e é a superfície delimitada por .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo vetorial nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , ou seja, partial F3partial y = partial (3z)partial y = 0 .
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
partial F2partial z = partial ypartial z = 0
Calculando cada componente:
partial F1partial z = partial (8x - 2y)partial z = 0
partial F3partial x = partial (3z)partial x = 0
partial F2partial x = partial ypartial x = 0
partial F1partial y = partial (8x - 2y)partial y = -2
nabla times F = (0 - 0, 0 - 0, 0 - (-2)) = (0, 0, 2)
Então,

Passo 4

Agora, precisamos determinar a superfície integral duplaS (nabla times F) cdot dS limitada pela curva . Como é um triângulo, vamos escolher como sendo esse próprio triângulo. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular a integral de superfície:

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a área do triângulo com vértices em PQ = Q - P = (2-2, 6-2, 0-0) = (0, 4, 0) , PR = R - P = (2+raiz3-2, 4-2, 3-0) = (raiz3, 2, 3) e .
Definimos dois vetores que formam o triângulo:

Passo 6

O vetor área do triângulo é dado pelo produto vetorial desses dois vetores:
PQ times PR = i & j & k 0 & 4 & 0 raiz3 & 2 & 3
Calculando o determinante:
PQ times PR = i(4 cdot 3 - 0 cdot 2) - j(0 cdot 3 - 0 cdot raiz3) + k(0 cdot 2 - 4 cdot raiz3) = (12, 0, -4raiz3)

Passo 7

Calculando o módulo desse vetor para encontrar a área:
|PQ times PR| = raiz12^2 + 0^2 + (-4raiz3)^2 = raiz144 + 48 = raiz192 = 8raiz3
Como a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial:
A = 12 times 8raiz3 = 4raiz3

Passo 8

Agora, calculamos a integral de superfície usando a rotacional encontrada e a área do triângulo:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS (0,0,2) cdot (12, 0, -4raiz3), dS = 0 cdot 12 + 0 cdot 0 + 2 cdot (-4raiz3) = -8raiz3
Ajustando a orientação: Como a curva -8raiz3 times (-1) = 8raiz3 está orientada no sentido anti-horário, precisamos inverter o sinal para que a orientação do vetor normal esteja correta. Portanto:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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