Seja f=y z i+x z j+(x y+1) k um campo vetorial. Determine a integral integralC f cdot d r onde C é a curva definida pela interseção das superfícies y=x^2+1 e x+2 y-z=6 do ponto A(0,1,3) ao ponto B(1,2,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial f = y z, i + x z, j + (x y + 1), k. Queremos calcular a integral de linha integralC f cdot dr ao longo da curva C, que é a interseção das superfícies y = x^2 + 1 e x + 2y - z = 6, indo do ponto A(0, 1, 3) ao ponto B(1, 2, 2). Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é onde as duas superfícies se encontram:
  1. y = x^2 + 1
  2. x + 2y - z = 6
Vamos substituindo a primeira equação na segunda para eliminar y:
z = x + 2y - 6 = x + 2(x^2 + 1) - 6 = x + 2x^2 + 2 - 6 = 2x^2 + x - 4
Então, podemos parametrizar a curva C usando x como parâmetro:
x = t y = t^2 + 1 z = 2t^2 + t - 4

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de parametrização para t. Sabemos que a curva vai de A(0, 1, 3) a B(1, 2, 2).
Para o ponto A:
  • Quando t = 0:
    • x = 0
    • y = 0^2 + 1 = 1
    • z = 2(0)^2 + 0 - 4 = -4
Mas o ponto A tem z = 3. Isso indica que pode ter um erro na parametrização ou na interpretação das equações. Vamos verificar os cálculos novamente.
Na equação para z:
z = x + 2y - 6 = 0 + 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4, que não coincide com z = 3 de A.
Parece que há um conflito. Vamos reavaliar as equações das superfícies para encontrar a parametrização correta.

Passo 4

Vamos resolver o sistema das duas equações para garantir que passamos pelo ponto A(0, 1, 3):
  1. y = x^2 + 1
  2. x + 2y - z = 6
Substituindo x = 0 e y = 1 na segunda equação:
0 + 2(1) - z = 6 Rightarrow 2 - z = 6 Rightarrow z = -4
Isso não coincide com z = 3 do ponto A. Parece que há um erro no enunciado ou na parametrização inicial. Vamos ajustar a parametrização considerando que o ponto A(0,1,3) está na curva.
Substituindo x = 0, y = 1 na segunda equação:
0 + 2(1) - z = 6 Rightarrow z = -4
Isso sugere que o ponto A(0,1,3) não está na interseção das superfícies dadas. Pode haver um erro no enunciado ou precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 5

Assumindo que há um erro no ponto A fornecido, vamos proceder com a parametrização baseada nas equações das superfícies:
x = t y = t^2 + 1 z = 2t^2 + t - 4
E veremos até onde isso nos leva para calcular a integral.

Passo 6

Com a parametrização estabelecida, vamos expressar o campo vetorial f em termos de t:
f(t) = y z, i + x z, j + (x y + 1), k = ( (t^2 + 1)(2t^2 + t - 4) ), i + ( t (2t^2 + t - 4) ), j + ( t(t^2 + 1) + 1 ), k

Passo 7

Calculamos a derivada da posição r(t) para encontrar dr:
r(t) = t, i + (t^2 + 1), j + (2t^2 + t - 4), k
drdt = ddt(t), i + ddt(t^2 + 1), j + ddt(2t^2 + t - 4), k = i + 2t, j + (4t + 1), k

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar f(t) cdot drdt:
f(t) cdot drdt = [ (t^2 + 1)(2t^2 + t - 4) ](1) + [ t(2t^2 + t - 4) ](2t) + [ t(t^2 + 1) + 1 ](4t + 1)
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo: (t^2 + 1)(2t^2 + t - 4)
  2. Segundo termo: t(2t^2 + t - 4) cdot 2t = 2t^2(2t^2 + t - 4)
  3. Terceiro termo: (t(t^2 + 1) + 1)(4t + 1)

Passo 9

Vamos expandir e simplificar cada termo:
  1. (t^2 + 1)(2t^2 + t - 4) = 2t^4 + t^3 - 4t^2 + 2t^2 + t - 4 = 2t^4 + t^3 - 2t^2 + t - 4
  2. 2t^2(2t^2 + t - 4) = 4t^4 + 2t^3 - 8t^2
  3. (t(t^2 + 1) + 1)(4t + 1) = (t^3 + t + 1)(4t + 1) = 4t^4 + t^3 + 4t^2 + t + 4t + 1 = 4t^4 + t^3 + 4t^2 + 5t + 1
Agora, somamos todos os termos:
2t^4 + t^3 - 2t^2 + t - 4 + 4t^4 + 2t^3 - 8t^2 + 4t^4 + t^3 + 4t^2 + 5t + 1 = 10t^4 + 4t^3 - 6t^2 + 6t - 3

Passo 10

Agora, nossa integral fica:
integralC f cdot dr = integraltA^tB (10t^4 + 4t^3 - 6t^2 + 6t - 3) , dt
Precisamos determinar os limites de integração tA e tB. Pela parametrização, quando x = t = 0, chegamos ao ponto A(0,1,-4), e quando x = t = 1, chegamos ao ponto B(1,2,-1).

Passo 11

Vamos calcular a integral:
integral0^1 (10t^4 + 4t^3 - 6t^2 + 6t - 3) , dt = [ 2t^5 + t^4 - 2t^3 + 3t^2 - 3t ]0^1
Substituindo t = 1:
2(1)^5 + (1)^4 - 2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) = 2 + 1 - 2 + 3 - 3 = 1
Substituindo t = 0:
0 + 0 - 0 + 0 - 0 = 0

Resposta

A integral integralC f cdot dr é igual a 1.

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