Seja um campo vetorial. Determine a integral onde é a curva definida pela interseção das superfícies e do ponto ao ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial . Queremos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é a interseção das superfícies e , indo do ponto ao ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é onde as duas superfícies se encontram:
Vamos substituindo a primeira equação na segunda para eliminar :
Então, podemos parametrizar a curva usando como parâmetro:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de parametrização para t. Sabemos que a curva vai de A(0, 1, 3) a B(1, 2, 2).
Para o ponto A:
Quando t = 0:
x = 0
y = 0^2 + 1 = 1
z = 2(0)^2 + 0 - 4 = -4
Mas o ponto A tem z = 3. Isso indica que pode ter um erro na parametrização ou na interpretação das equações. Vamos verificar os cálculos novamente.
Na equação para z: z = x + 2y - 6 = 0 + 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4, que não coincide com z = 3 de A.
Parece que há um conflito. Vamos reavaliar as equações das superfícies para encontrar a parametrização correta.
Passo 4
Vamos resolver o sistema das duas equações para garantir que passamos pelo ponto A(0, 1, 3):
y = x^2 + 1
x + 2y - z = 6
Substituindo x = 0 e y = 1 na segunda equação:
0 + 2(1) - z = 6 Rightarrow 2 - z = 6 Rightarrow z = -4
Isso não coincide com z = 3 do ponto A. Parece que há um erro no enunciado ou na parametrização inicial. Vamos ajustar a parametrização considerando que o ponto A(0,1,3) está na curva.
Substituindo x = 0, y = 1 na segunda equação:
0 + 2(1) - z = 6 Rightarrow z = -4
Isso sugere que o ponto A(0,1,3) não está na interseção das superfícies dadas. Pode haver um erro no enunciado ou precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 5
Assumindo que há um erro no ponto A fornecido, vamos proceder com a parametrização baseada nas equações das superfícies:
x = t y = t^2 + 1 z = 2t^2 + t - 4
E veremos até onde isso nos leva para calcular a integral.
Passo 6
Com a parametrização estabelecida, vamos expressar o campo vetorial f em termos de t:
f(t) = y z, i + x z, j + (x y + 1), k = ( (t^2 + 1)(2t^2 + t - 4) ), i + ( t (2t^2 + t - 4) ), j + ( t(t^2 + 1) + 1 ), k
Passo 7
Calculamos a derivada da posição r(t) para encontrar dr:
r(t) = t, i + (t^2 + 1), j + (2t^2 + t - 4), k
drdt = ddt(t), i + ddt(t^2 + 1), j + ddt(2t^2 + t - 4), k = i + 2t, j + (4t + 1), k
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar f(t) cdot drdt:
integralC f cdot dr = integraltA^tB (10t^4 + 4t^3 - 6t^2 + 6t - 3) , dt
Precisamos determinar os limites de integração tA e tB. Pela parametrização, quando x = t = 0, chegamos ao ponto A(0,1,-4), e quando x = t = 1, chegamos ao ponto B(1,2,-1).