Seja
um campo vetorial. O campo
é conservativo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e queremos descobrir se ele é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser representado como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, vamos precisar usar o conceito de curl (rotacional) do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o curl. O curl de um campo vetorial
é dado por:
Se o curl for zero em todo o espaço, o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo:
Agora, vamos calcular cada termo do curl:
- Componente i:
Então,
- Componente j:
Então,
- Componente k:
Então,
Passo 4
Depois de calcular todas as componentes, temos:
Como o curl do campo vetorial
é zero em todas as direções, isso indica que o campo é conservativo.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo porque o seu curl é zero.
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial. Determine a integral
onde
é a curva definida pela interseção das superfícies
e
do ponto
ao ponto
.
Determine o valor da integral de linha
onde C é a curva dada pela interseção das superfícies
e
.
Calcule a integral de linha
onde C é o triângulo equilátero de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Seja
um campo vetorial. Calcule o rotacional do campo
.