Seja f = y*z*i + x*z*j + (x*y + 1)*k um campo vetorial. O campo f é conservativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e queremos descobrir se ele é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser representado como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, vamos precisar usar o conceito de curl (rotacional) do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o curl. O curl de um campo vetorial é dado por:
Se o curl for zero em todo o espaço, o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo:
Agora, vamos calcular cada termo do curl:
  1. Componente i:
Então,
  1. Componente j:
Então,
  1. Componente k:
Então,

Passo 4

Depois de calcular todas as componentes, temos:
Como o curl do campo vetorial é zero em todas as direções, isso indica que o campo é conservativo.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo porque o seu curl é zero.

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