Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada r(u, v) = (u^2, 2u sen(v), u cos(v)), no ponto P = r(1, pi / 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente numa superfície parametrizada. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde trabalhamos com superfícies em 3D. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da parametrização, encontrar o vetor normal à superfície e usar esses dados para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a parametrização da superfície:
Para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e a . Essas derivadas nos dão dois vetores tangentes à superfície no ponto de interesse.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Primeiro, encontramos as coordenadas de :
Agora, substituímos e nas derivadas parciais:

Passo 5

Com os dois vetores tangentes no ponto , podemos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação do plano:
Vamos expandir e simplificar:

Resposta

A equação do plano tangente é:

Exercícios relacionados

Seja f = y*z*i + x*z*j + (x*y + 1)*k um campo vetorial. Calcule o rotacional do campo f.
Calcule a integral de linha ointC(8 x-2 y) d x+y d y+3 z d z onde C é o triângulo equilátero de vértices P(2,2,0), Q(2,6,0) e R(2+raiz3, 4,3) orientado no sentido anti-horário.
Seja f = y*z*i + x*z*j + (x*y + 1)*k um campo vetorial. Em caso afirmativo determine uma função potencial.
Considere a série p - harmônica
sumn=1^infty 1n^p
É correto afirmar.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
sn=sumk=1^n 1k^p
é decrescente se
p>1
b. Se
p >= 1
a série converge. c. Se
p>1
a série converge e se
p <= 1
a série diverge. d. Se
p>1
a série diverge e se
p <= 1
a série converge.