Calcule a integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre
e
, percorrida no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região delimitada por
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo as duas:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
. A região está entre
e
. Vamos determinar os limites de integração.
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas
e
:
Então, os limites para
vão de
a
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
(parte de baixo) até
(parte de cima).
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
de
a
:
Vamos separar a integral:
Passo 8
Calculando cada parte:
-
Integral de
: Podemos expandir para facilitar:As integrais ficam:Usando integração por partes:-
Para
: - Seja
, - Então,
, - Integrando por partes:
- Seja
-
Para
: - Seja
, - Então,
, - Integrando por partes:
A última integral já sabemos que é .
Portanto: - Seja
Logo, combinando as duas partes:Avaliado dea : Em: Em: Portanto: -
-
Integral de
de a : -
Integral de
de a : -
Integral de
de a :
Passo 9
Agora, somamos todas as partes:
Vamos calcular os termos numéricos:
Portanto:
Aproximando
, temos:
Resposta
A integral de linha vale aproximadamente 0,315.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
. F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo
.
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial
Calcule
onde
é a fronteira da região
, definida por
orientada no sentido anti-horário.
Seja
Mostre que
é independente do caminho.