Calcule a integral de linha ointC(e^x+y^2) d x+(e^x+x^2) d y, onde C é a fronteira da região entre y=x^2 e y=x, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC(e^x+y^2) dx + (e^x+x^2) dy, onde C é a fronteira da região entre y = x^2 e y = x, percorrida no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M e N na integral de linha:
M = e^x + y^2 N = e^x + x^2
O Teorema de Green nos diz que:
ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
Onde D é a região delimitada por C.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (e^x + x^2) = e^x + 2x partial Mpartial y = partialpartial y (e^x + y^2) = 2y
Subtraindo as duas:
partial Npartial x - partial Mpartial y = e^x + 2x - 2y

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região D. A região está entre y = x^2 e y = x. Vamos determinar os limites de integração.
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas y = x^2 e y = x:
x^2 = x x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1
Então, os limites para x vão de 0 a 1. Para cada x nesse intervalo, y varia de x^2 (parte de baixo) até x (parte de cima).

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaD ( e^x + 2x - 2y ) dA = integralx=0^1 integraly=x^2^x ( e^x + 2x - 2y ) dy , dx
Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro.

Passo 6

Integrando em relação a y:
integraly=x^2^x ( e^x + 2x - 2y ) dy = [ e^x y + 2x y - y^2 ]y=x^2^y=x
Substituindo os limites:
( e^x cdot x + 2x cdot x - x^2 ) - ( e^x cdot x^2 + 2x cdot x^2 - (x^2)^2 ) = ( e^x x + 2x^2 - x^2 ) - ( e^x x^2 + 2x^3 - x^4 ) = e^x x + x^2 - e^x x^2 - 2x^3 + x^4
Simplificando:
= e^x x (1 - x) + x^2 - 2x^3 + x^4

Passo 7

Agora, integramos em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( e^x x (1 - x) + x^2 - 2x^3 + x^4 ) dx
Vamos separar a integral:
integral0^1 e^x x (1 - x) , dx + integral0^1 x^2 , dx - 2 integral0^1 x^3 , dx + integral0^1 x^4 , dx

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. Integral de e^x x (1 - x):
    Podemos expandir para facilitar:
    e^x x - e^x x^2
    As integrais ficam:
    integral e^x x , dx - integral e^x x^2 , dx
    Usando integração por partes:
    • Para integral e^x x , dx:
      • Seja u = x, dv = e^x dx
      • Então, du = dx, v = e^x
      • Integrando por partes: uv - integral v , du = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
    • Para integral e^x x^2 , dx:
      • Seja u = x^2, dv = e^x dx
      • Então, du = 2x dx, v = e^x
      • Integrando por partes: uv - integral v , du = x^2 e^x - integral 2x e^x dx A última integral já sabemos que é 2(x e^x - e^x).
      Portanto:
      x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x
    Logo, combinando as duas partes:
    (x e^x - e^x) - (x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x) = -x^2 e^x + 3x e^x - 3 e^x
    Avaliado de 0 a 1:
    Em x=1:
    -1^2 e^1 + 3(1) e^1 - 3 e^1 = (-1 + 3 - 3) e = -1 e
    Em x=0:
    -0 + 0 - 3 e^0 = -3
    Portanto:
    (-1 e) - (-3) = -e + 3
  2. Integral de x^2 de 0 a 1:
    integral0^1 x^2 dx = [ x^33 ]0^1 = 13
  3. Integral de 2x^3 de 0 a 1:
    2 integral0^1 x^3 dx = 2 [ x^44 ]0^1 = 2 cdot 14 = 12
  4. Integral de x^4 de 0 a 1:
    integral0^1 x^4 dx = [ x^55 ]0^1 = 15

Passo 9

Agora, somamos todas as partes:
(-e + 3) + 13 - 12 + 15
Vamos calcular os termos numéricos:
3 + 13 - 12 + 15 = 4515 + 515 - 7.515 + 315 = 45 + 5 - 7.5 + 315 = 45.515 = 3.033
Portanto:
- e + 3.033
Aproximando e approx 2.718, temos:
-2.718 + 3.033 approx 0.315

Resposta

A integral de linha vale aproximadamente 0,315.

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