Calcule a integral de linha , onde é a fronteira da região entre e , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região entre e , percorrida no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região delimitada por .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo as duas:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região . A região está entre e . Vamos determinar os limites de integração.
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas e :
Então, os limites para vão de a . Para cada nesse intervalo, varia de (parte de baixo) até (parte de cima).

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro.

Passo 6

Integrando em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a de a :
Vamos separar a integral:

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. Integral de :
    Podemos expandir para facilitar:
    As integrais ficam:
    Usando integração por partes:
    • Para :
      • Seja ,
      • Então, ,
      • Integrando por partes:
    • Para :
      • Seja ,
      • Então, ,
      • Integrando por partes: A última integral já sabemos que é .
      Portanto:
    Logo, combinando as duas partes:
    Avaliado de a :
    Em :
    Em :
    Portanto:
  2. Integral de de a :
  3. Integral de de a :
  4. Integral de de a :

Passo 9

Agora, somamos todas as partes:
Vamos calcular os termos numéricos:
Portanto:
Aproximando , temos:

Resposta

A integral de linha vale aproximadamente 0,315.

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Considere o campo vetorial . F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo .
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial
Calcule
onde é a fronteira da região , definida por
orientada no sentido anti-horário.
Seja
Mostre que é independente do caminho.