Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que o campo vetorial dado é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com campos conservativos e funções potenciais. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e, se der tudo certo, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para isso, precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos o rotacional:
Como o rotacional é zero, o campo vetorial é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Agora, substituímos
na função
:
Por último, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira equação:
Então:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função potencial é
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Determine se os campos abaixo são conservativos
Determine se os campos abaixo são conservativos
Considere o campo vetorial
. F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo
.
Calcule a integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.