Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que o campo vetorial dado é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com campos conservativos e funções potenciais. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e, se der tudo certo, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Para isso, precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos o rotacional:
Como o rotacional é zero, o campo vetorial é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .
Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
Agora, substituímos na função :
Por último, derivamos em relação a e igualamos à terceira equação:
Então:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função potencial é

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