Seja
Mostre que
é independente do caminho.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral de linha
definida por:
O objetivo é mostrar que essa integral é independente do caminho. Isso significa que o valor da integral não depende de qual trajetória
escolhemos para calcular
, mas apenas dos pontos inicial e final.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integral de linha e campos conservativos.
Passo 2
Vamos identificar as funções
e
na integral de linha geral:
Comparando com a nossa integral:
Para determinar se a integral é independente do caminho, verificamos se o campo vetorial
é exato. Um campo vetorial é exato se existe uma função potencial
tal que:
Passo 3
Uma condição necessária para que
seja exato é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Observamos que:
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, o campo vetorial
é exato. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Portanto, a integral
é independente do caminho escolhido.
Resposta
A integral
é independente do caminho.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a fronteira da região
, definida por
orientada no sentido anti-horário.
Calcule a integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Calcule:
onde
é o caminho fechado formado por
e
, no sentido anti-horário;
Calcule:
onde
é parametrizada por
e
sen
, com
.