Seja
I=integralC(x+3 y+y^10) d x+(3 x+10 x y^9+ln (1+y^2)) d y
Mostre que I é independente do caminho.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral de linha I=integralC(x+3 y+y^10) d x+(3 x+10 x y^9+ln (1+y^2)) d y definida por:
O objetivo é mostrar que essa integral é independente do caminho. Isso significa que o valor da integral não depende de qual trajetória escolhemos para calcular , mas apenas dos pontos inicial e final.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integral de linha e campos conservativos.

Passo 2

Vamos identificar as funções I = integralC P , dx + Q , dy e partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q na integral de linha geral:
Comparando com a nossa integral:
Para determinar se a integral é independente do caminho, verificamos se o campo vetorial é exato. Um campo vetorial é exato se existe uma função potencial tal que:

Passo 3

Uma condição necessária para que partial Ppartial y = partial Qpartial x seja exato é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partialpartial y(x + 3y + y^10) = 3 + 10y^9
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, calculamos partial Qpartial x = partialpartial x(3x + 10x y^9 + ln(1 + y^2)) = 3 + 10y^9 :
Agora, calculamos :

Passo 4

Observamos que:
partial Ppartial y = 3 + 10y^9 = partial Qpartial x
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, o campo vetorial I = integralC F cdot dr = f(ponto final) - f(ponto inicial) é exato. Isso significa que existe uma função potencial tal que:
Portanto, a integral é independente do caminho escolhido.

Resposta

A integral é independente do caminho.

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