Seja
Mostre que é independente do caminho.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral de linha definida por:
O objetivo é mostrar que essa integral é independente do caminho. Isso significa que o valor da integral não depende de qual trajetória escolhemos para calcular , mas apenas dos pontos inicial e final.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integral de linha e campos conservativos.

Passo 2

Vamos identificar as funções e na integral de linha geral:
Comparando com a nossa integral:
Para determinar se a integral é independente do caminho, verificamos se o campo vetorial é exato. Um campo vetorial é exato se existe uma função potencial tal que:

Passo 3

Uma condição necessária para que seja exato é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 4

Observamos que:
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, o campo vetorial é exato. Isso significa que existe uma função potencial tal que:
Portanto, a integral é independente do caminho escolhido.

Resposta

A integral é independente do caminho.

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Calcule
onde é a fronteira da região , definida por
orientada no sentido anti-horário.
Calcule a integral de linha , onde é a fronteira da região entre e , percorrida no sentido anti-horário.
Calcule:
onde é o caminho fechado formado por e , no sentido anti-horário;
Calcule:
onde é parametrizada por e sen , com .