Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha ao redor da curva , que é a fronteira da região . A região está definida entre dois círculos (com raios 1 e 2) no primeiro quadrante (onde e ). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região .
Passo 4
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . A região fica entre os círculos de raio 1 e 2, e no primeiro quadrante, então varia de 1 a 2 e varia de 0 a .