Calcule
ointC x^2-y^22 d x+(x^22+y^4) d y
onde C é a fronteira da região D, definida por
D=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0
orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha ao redor da curva , que é a fronteira da região . A região está definida entre dois círculos (com raios 1 e 2) no primeiro quadrante (onde e ). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P = x^2 - y^22, Q = x^22 + y^4 e ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^22 + y^4 ) = x
partial Ppartial y = partialpartial y ( x^2 - y^22 ) = -y
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD (x + y) , dx , dy
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região .

Passo 4

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde integral0^pi2 integral1^2 (r costheta + r sintheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral1^2 r^2 (costheta + sintheta) , dr , dtheta e . A região fica entre os círculos de raio 1 e 2, e no primeiro quadrante, então varia de 1 a 2 e varia de 0 a .
A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73
Agora, a integral fica:
73 integral0^pi2 (costheta + sintheta) , dtheta
Integrando em relação a integral0^pi2 costheta , dtheta = sintheta |0^pi2 = 1 - 0 = 1 :
integral0^pi2 sintheta , dtheta = -costheta |0^pi2 = -0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
Somando as duas:
73 times 2 = 143
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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