Calcule
onde é a fronteira da região , definida por
orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha ao redor da curva , que é a fronteira da região . A região está definida entre dois círculos (com raios 1 e 2) no primeiro quadrante (onde e ). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região .

Passo 4

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . A região fica entre os círculos de raio 1 e 2, e no primeiro quadrante, então varia de 1 a 2 e varia de 0 a .
A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Somando as duas:
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule a integral de linha , onde é a fronteira da região entre e , percorrida no sentido anti-horário.
Considere o campo vetorial . F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo .
Seja
Mostre que é independente do caminho.
Calcule:
onde é o caminho fechado formado por e , no sentido anti-horário;