Considere o campo vetorial
. F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo vetorial
e pergunta se ele é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para esse campo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste do rotacional para verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional (ou “curl”) for igual a zero em todo o espaço considerado. Então, vamos calcular o rotacional de
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Onde
. No nosso caso, temos:
Calculando cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Ou seja:
Vamos resolver o sistema:
- De
, temos . - Substituindo na segunda equação:
, o que implica . - Com
, então .
Isso significa que o rotacional é zero somente no ponto
, mas não é zero em geral para todos os pontos do espaço. Portanto, o campo
não é conservativo.
Passo 5
Como o rotacional de
não é zero em geral, concluímos que o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial para
.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, já que seu rotacional não é nulo em todo o espaço.
Exercícios relacionados
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial
Determine se os campos abaixo são conservativos
Calcule a integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Calcule
onde
é a fronteira da região
, definida por
orientada no sentido anti-horário.