Considere o campo vetorial F(x, y, z) = (x * z, y * z, 2 * x * y + z). F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo vetorial e pergunta se ele é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para esse campo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste do rotacional para verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional (ou “curl”) for igual a zero em todo o espaço considerado. Então, vamos calcular o rotacional de .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Onde . No nosso caso, temos:
Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o rotacional de é:

Passo 4

Agora, para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Ou seja:
Vamos resolver o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: , o que implica .
  3. Com , então .
Isso significa que o rotacional é zero somente no ponto , mas não é zero em geral para todos os pontos do espaço. Portanto, o campo não é conservativo.

Passo 5

Como o rotacional de não é zero em geral, concluímos que o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial para .

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, já que seu rotacional não é nulo em todo o espaço.

Exercícios relacionados