Calcule a integral de linha
, onde
é o quadrado de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular a integral de linha
, onde
é um quadrado com vértices em
,
,
e
, orientado no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o caminho
em partes menores e calcular a integral em cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o caminho
. Como
é um quadrado, podemos dividi-lo em quatro segmentos:
- Segmento 1: De
a – aqui, e varia de 0 a 1. - Segmento 2: De
a – aqui, e varia de 0 a 1. - Segmento 3: De
a – aqui, e varia de 1 a 0. - Segmento 4: De
a – aqui, e varia de 1 a 0.
Passo 3
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.
Segmento 1: De
a
- Parâmetros:
, de 0 a 1. - Derivadas:
varia de 0 a 1, .
Substituindo na integral:
Segmento 2: De
a
- Parâmetros:
, de 0 a 1. - Derivadas:
varia de 0 a 1, .
Substituindo na integral:
Segmento 3: De
a
- Parâmetros:
, de 1 a 0. - Derivadas:
varia de 1 a 0 (isto é, diminui), .
Substituindo na integral:
(O sinal negativo aparece porque estamos integrando de 1 a 0, o que é igual a
a integral de 0 a 1)
Segmento 4: De
a
- Parâmetros:
, de 1 a 0. - Derivadas:
varia de 1 a 0 (isto é, diminui), .
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, somamos as integrais de todos os segmentos:
Resposta
A integral de linha
ao longo do quadrado
é igual a 0.