Calcule a integral de linha ointC y^2 d x+x^2 d y, onde C é o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral de linha , onde é um quadrado com vértices em , , e , orientado no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o caminho em partes menores e calcular a integral em cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o caminho . Como é um quadrado, podemos dividi-lo em quatro segmentos:
  1. Segmento 1: De a – aqui, e varia de 0 a 1.
  2. Segmento 2: De a – aqui, e varia de 0 a 1.
  3. Segmento 3: De a – aqui, e varia de 1 a 0.
  4. Segmento 4: De a – aqui, e varia de 1 a 0.

Passo 3

Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.
Segmento 1: De integral0^1 y^2 dx + x^2 dy = integral0^1 (0)^2 dx + x^2 cdot 0 = 0 a integral0^1 y^2 cdot 0 + (1)^2 dy = integral0^1 1 cdot dy = [y]0^1 = 1
  • Parâmetros: integral1^0 y^2 dx + x^2 cdot 0 = integral1^0 1 cdot dx = -integral0^1 1 cdot dx = -1 , integral1^0 y^2 cdot 0 + (0)^2 dy = 0 de 0 a 1.
  • Derivadas: varia de 0 a 1, .
Substituindo na integral:
Segmento 2: De a
  • Parâmetros: , de 0 a 1.
  • Derivadas: varia de 0 a 1, .
Substituindo na integral:
Segmento 3: De a
  • Parâmetros: , de 1 a 0.
  • Derivadas: varia de 1 a 0 (isto é, diminui), .
Substituindo na integral:
(O sinal negativo aparece porque estamos integrando de 1 a 0, o que é igual a a integral de 0 a 1)
Segmento 4: De a
  • Parâmetros: , de 1 a 0.
  • Derivadas: varia de 1 a 0 (isto é, diminui), .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, somamos as integrais de todos os segmentos:
0 + 1 - 1 + 0 = 0

Resposta

A integral de linha ao longo do quadrado é igual a 0.

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