Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é o arco da curva de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde é o arco da curva que vai do ponto até . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , ou seja, expressar e em termos de um parâmetro comum, geralmente ou .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que , então podemos usar como nosso parâmetro. Assim, podemos definir:
Aqui, varia de a , já que estamos indo do ponto até .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de , já que vamos integrar em relação a . Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original usando a parametrização que fizemos:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Observamos que a integral ficou assim:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então:
A integral se torna:
Note que os limites de integração para são ambos 1, porque quando , e quando , .

Passo 6

Agora, avaliamos a integral:
Isso porque a integral de qualquer função em um intervalo onde os limites de integração são iguais é sempre zero.

Resposta

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