Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. integralC sen x d x, C é o arco da curva x=y^4 de (1,-1) a (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde é o arco da curva que vai do ponto até . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , ou seja, expressar e em termos de um parâmetro comum, geralmente ou .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(y) = y^4 y(y) = y . Sabemos que , então podemos usar como nosso parâmetro. Assim, podemos definir:
Aqui, varia de a , já que estamos indo do ponto até .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = ddy(y^4) , dy = 4y^3 , dy em termos de , já que vamos integrar em relação a . Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos substituir integralC sen x , dx = integraly=-1^1 sen(y^4) cdot 4y^3 , dy e na integral original usando a parametrização que fizemos:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Observamos que a integral ficou assim:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja integral-1^1 4y^3 sen(y^4) , dy , então:
dt = 4y^3 , dy
A integral se torna:
Note que os limites de integração para integralt=1^1 sen(t) , dt são ambos 1, porque quando , e quando , .

Passo 6

Agora, avaliamos a integral:
Isso porque a integral de qualquer função em um intervalo onde os limites de integração são iguais é sempre zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados