Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde
é o arco da curva
que vai do ponto
até
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, ou seja, expressar
e
em termos de um parâmetro comum, geralmente
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Sabemos que
, então podemos usar
como nosso parâmetro. Assim, podemos definir:
Aqui,
varia de
a
, já que estamos indo do ponto
até
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
, já que vamos integrar em relação a
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original usando a parametrização que fizemos:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Observamos que a integral ficou assim:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então:
A integral se torna:
Note que os limites de integração para
são ambos 1, porque quando
,
e quando
,
.
Passo 6
Agora, avaliamos a integral:
Isso porque a integral de qualquer função em um intervalo onde os limites de integração são iguais é sempre zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
.
Encontre o termo
, de ordem 3, do polinômio de Taylor para a função
definida
para
em
.