Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
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Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de primeira ordem e nos pede para resolver um problema de valor inicial. Isso significa que além de resolver a equação, precisamos encontrar a solução que satisfaça uma condição específica, que nesse caso é
. Para resolver isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação dada para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais lineares. A equação que temos é:
Queremos colocá-la na forma:
Para isso, dividimos todos os termos por
(assumindo que
):
Passo 3
Agora, identificamos os termos
e
na equação:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que facilita a resolução de equações lineares.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
usando a fórmula:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso transforma o lado esquerdo da equação na derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
para encontrar a solução geral da equação:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
.
Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
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Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da curva
de
a
.