Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de primeira ordem e nos pede para resolver um problema de valor inicial. Isso significa que além de resolver a equação, precisamos encontrar a solução que satisfaça uma condição específica, que nesse caso é . Para resolver isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação dada para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais lineares. A equação que temos é:
Queremos colocá-la na forma:
Para isso, dividimos todos os termos por (assumindo que ):

Passo 3

Agora, identificamos os termos e na equação:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que facilita a resolução de equações lineares.

Passo 4

Calculamos o fator integrante usando a fórmula:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso transforma o lado esquerdo da equação na derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos para encontrar a solução geral da equação:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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