Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou! O enunciado é:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente trabalhando com equações de primeira ordem. Vamos precisar usar técnicas de substituição e separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
Podemos reescrever isso de uma forma que fique mais fácil de trabalhar:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Assim, . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo isso na equação original:

Passo 4

Vamos isolar :
Então:
Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar.

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos fazer outra substituição. Definimos:
Substituindo na equação:
Agora, rearranjando:

Passo 6

Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Onde é uma constante de integração.

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante. Então:
Lembrando que e , temos:

Passo 8

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , :

Passo 9

Substituindo na equação de :
Para achar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;
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