Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou! O enunciado é:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente trabalhando com equações de primeira ordem. Vamos precisar usar técnicas de substituição e separação de variáveis para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
Podemos reescrever isso de uma forma que fique mais fácil de trabalhar:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Assim,
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo isso na equação original:
Passo 4
Vamos isolar
:
Então:
Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos fazer outra substituição. Definimos:
Substituindo
na equação:
Agora, rearranjando:
Passo 6
Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante. Então:
Lembrando que
e
, temos:
Passo 8
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Passo 9
Substituindo
na equação de
:
Para achar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da curva
de
a
.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
.