Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado. A gente tem um campo escalar
e um campo vetorial
. Nossa missão é verificar se a expressão
faz sentido matematicamente. Se sim, vamos dizer se é um campo escalar ou vetorial. Se não, explicamos o porquê.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações envolvidas:
-
Divergente (
): Quando aplicamos a divergente a um campo vetorial , como , o resultado é um campo escalar. Basicamente, a divergente mede o quanto o campo vetorial está “se expandindo” ou “contraindo” em cada ponto do espaço. -
Gradiente (
): Agora, aplicamos o gradiente a um campo escalar. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento do campo escalar e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa expressão:
- Primeiro, calculamos
, que nos dá um campo escalar. - Em seguida, aplicamos
a esse campo escalar, ou seja, . Como o gradiente de um escalar é um vetor, o resultado final será um campo vetorial.
Resposta
Sim,
é um campo vetorial.
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Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da curva
de
a
.
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Encontre o termo
, de ordem 3, do polinômio de Taylor para a função
definida
para
em
.
Encontre o quarto termo
do polinômio de Taylor para a função f definida
para