Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. grad(div F).

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado. A gente tem um campo escalar e um campo vetorial . Nossa missão é verificar se a expressão faz sentido matematicamente. Se sim, vamos dizer se é um campo escalar ou vetorial. Se não, explicamos o porquê.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações envolvidas:
  1. Divergente ( ): Quando aplicamos a divergente a um campo vetorial , como , o resultado é um campo escalar. Basicamente, a divergente mede o quanto o campo vetorial está “se expandindo” ou “contraindo” em cada ponto do espaço.
  2. Gradiente ( ): Agora, aplicamos o gradiente a um campo escalar. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento do campo escalar e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa expressão:
  • Primeiro, calculamos , que nos dá um campo escalar.
  • Em seguida, aplicamos a esse campo escalar, ou seja, . Como o gradiente de um escalar é um vetor, o resultado final será um campo vetorial.

Resposta

Sim, é um campo vetorial.

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