Encontre o termo
, de ordem 3, do polinômio de Taylor para a função
definida
para
em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o termo
, de ordem 3, do polinômio de Taylor para a função
no ponto
. Para isso, vamos utilizar o conceito de polinômio de Taylor, que aproxima funções diferenciáveis por polinômios de uma certa ordem. Precisaremos calcular as derivadas de
até a terceira ordem e avaliá-las em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem
para uma função
em torno de
:
Como nosso ponto
, a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
até a terceira ordem:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
- Valor da função:
- Primeira derivada em 0:
- Segunda derivada em 0:
- Terceira derivada em 0:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3:
Simplificando: