Encontre o termo P3, de ordem 3, do polinômio de Taylor para a função f definida por f(x) = 1/(1+x) para x > -1 em a = 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o termo , de ordem 3, do polinômio de Taylor para a função no ponto . Para isso, vamos utilizar o conceito de polinômio de Taylor, que aproxima funções diferenciáveis por polinômios de uma certa ordem. Precisaremos calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliá-las em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de :
Como nosso ponto , a fórmula fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a terceira ordem:
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :
  1. Valor da função:
  1. Primeira derivada em 0:
  1. Segunda derivada em 0:
  1. Terceira derivada em 0:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3:
Simplificando:

Resposta

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