Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
C:
C:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que a gente tem aqui é uma integral onde precisamos calcular
. A curva
está parametrizada por
,
para
entre 0 e 1. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula uma soma ao longo de uma curva
. No nosso caso, a função que estamos integrando é
e
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Como a curva
está parametrizada por
, precisamos expressar tudo em termos de
. Temos:
Agora, para encontrar
, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja
, então
. Mas notamos que temos
, então vamos reescrever:
Usando
, temos
e
, então
.
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Voltando para
:
Avaliado de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Calculando a diferença:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de linha é igual a
.