Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
2 integralc x y d s,
C: x=t^2, y=2 t, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que a gente tem aqui é uma integral onde precisamos calcular . A curva está parametrizada por , para entre 0 e 1. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula uma soma ao longo de uma curva . No nosso caso, a função que estamos integrando é e representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Como a curva x = t^2 y = 2t está parametrizada por ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt , precisamos expressar tudo em termos de dxdt = 2t dydt = 2 . Temos:
ds = raiz(2t)^2 + (2)^2 , dt = raiz4t^2 + 4 , dt = raiz4(t^2 + 1) , dt = 2raizt^2 + 1 , dt
Agora, para encontrar , usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos 2 integralC x y , ds = 2 integral0^1 (t^2)(2t) cdot 2raizt^2 + 1 , dt , 2 integral0^1 2t^3 cdot 2raizt^2 + 1 , dt = 8 integral0^1 t^3 raizt^2 + 1 , dt e na integral original:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^1 t^3 raizt^2 + 1 , dt
Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja t^3 raizt^2 + 1 = t^2 cdot t raizu , então integral t^3 raizt^2 + 1 , dt = integral (u - 1) raizu cdot du2 = 12 integral (u^3/2 - u^1/2) , du . Mas notamos que temos 12 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C = 15 u^5/2 - 13 u^3/2 + C , então vamos reescrever:
15 (t^2 + 1)^5/2 - 13 (t^2 + 1)^3/2
Usando 15 (2)^5/2 - 13 (2)^3/2 = 15 cdot 4raiz2 - 13 cdot 2raiz2 = 4raiz25 - 2raiz23 , temos 15 (1)^5/2 - 13 (1)^3/2 = 15 - 13 = -215 e ( 4raiz25 - 2raiz23 ) - ( -215 ) = 12raiz2 - 10raiz215 + 215 = 2raiz2 + 215 , então 8 cdot 2raiz2 + 215 = 16raiz2 + 1615 = 16(raiz2 + 1)15 .
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Avaliado de 0 a 1:
Para :
Para :
Calculando a diferença:
Então, a integral fica:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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