sabendo que e R é o hemisfério e mediante a transformação apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla sobre a região , onde a função . A região é um hemisfério definido por e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões redondas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas (), trabalhamos com retas e planos. Já nas coordenadas esféricas, a gente descreve pontos no espaço usando três parâmetros: o raio (distância até a origem), o ângulo polar (ângulo em relação ao eixo z) e o ângulo azimutal (ângulo no plano xy a partir do eixo x).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para a nossa região . Como é o hemisfério com , isso significa que:
O raio varia de 0 a 1 (já que o raio da esfera é 1).
O ângulo polar varia de 0 a (cobrindo de cima para baixo do hemisfério).
O ângulo azimutal varia de a porque (isto é, estamos considerando metade do círculo completo em torno do eixo z).
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla usando coordenadas esféricas. A função que queremos integrar é I = integral triplaR 3 , dV , então:
I = integral-pi2^pi2 integral0^pi integral0^1 3 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 3 r^2 , dr = 3 [ r^33 ]0^1 = 3 ( 13 - 0 ) = 1 :
I = integral-pi2^pi2 integral0^pi sin phi , dphi , dtheta
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a integral0^pi sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2 :
I = integral-pi2^pi2 2 , dtheta
Agora, a integral fica:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a integral-pi2^pi2 2 , dtheta = 2 [ theta ]-pi2^pi2 = 2 ( pi2 - ( -pi2 ) ) = 2 cdot pi = 2pi :