Calcule
integral triplaE raizx^2+y^2+z^2 d V
onde E=(x, y, z) in R^3 mid 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral tripla
integral triplaE raizx^2+y^2+z^2 , dV
onde é o conjunto de pontos no espaço que satisfazem . Isso basicamente descreve uma região entre duas esferas, uma com raio 1 e outra com raio 2. Para resolver essa integral, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam muito quando lidamos com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, temos x = r sintheta cosphi y = r sintheta sinphi z = r costheta , mas em coordenadas esféricas, usamos três parâmetros: o raio dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi (a distância do ponto até a origem), o ângulo polar (o ângulo com o eixo z) e o ângulo azimutal (o ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações entre as coordenadas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas. A função que estamos integrando, integral triplaE r cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = integral triplaE r^3 sintheta , dr , dtheta , dphi , simplifica para em coordenadas esféricas. Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região integral0^2pi integral0^pi integral1^2 r^3 sintheta , dr , dtheta , dphi é definida por , o que significa que . Para os ângulos, varia de 0 a e varia de 0 a . Então, nossa integral se torna:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154 :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2 :

Passo 7

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dphi = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais, temos:
154 times 2 times 2pi = 154 times 4pi = 15pi
Então, o valor da integral tripla é .

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