Calcule
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral tripla
onde
é o conjunto de pontos
no espaço que satisfazem
. Isso basicamente descreve uma região entre duas esferas, uma com raio 1 e outra com raio 2. Para resolver essa integral, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam muito quando lidamos com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, temos
, mas em coordenadas esféricas, usamos três parâmetros: o raio
(a distância do ponto até a origem), o ângulo polar
(o ângulo com o eixo z) e o ângulo azimutal
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações entre as coordenadas são:
E o elemento de volume
em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas. A função que estamos integrando,
, simplifica para
em coordenadas esféricas. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região
é definida por
, o que significa que
. Para os ângulos,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
. Então, nossa integral se torna:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 7
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais, temos:
Então, o valor da integral tripla é
.