Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o segmento de reta de a

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrais sobre curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e depois calcular o comprimento diferencial .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Sabemos que uma reta entre dois pontos e pode ser parametrizada usando um parâmetro que varia de 0 a 1. Então, temos:
Aqui, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a calcular o diferencial de comprimento .

Passo 4

O diferencial de comprimento é dado por:

Passo 5

Agora, substituímos , e na integral original:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Portanto:

Resposta

A integral de linha é .

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Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e o eixo x ;
Calcule as seguintes integrais definidas:
Encontre equações para: (a) O plano tangente; (b) A reta normal no ponto na superfície dada .
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;