Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x e^y d s, C é o segmento de reta de (2,0) a (5,4)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrais sobre curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e depois calcular o comprimento diferencial .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x(t) = x0 + (x1 - x0)t = 2 + (5-2)t = 2 + 3t . Sabemos que uma reta entre dois pontos y(t) = y0 + (y1 - y0)t = 0 + (4-0)t = 4t e pode ser parametrizada usando um parâmetro que varia de 0 a 1. Então, temos:
Aqui, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dxdt = 3 e dydt = 4 em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a calcular o diferencial de comprimento .

Passo 4

O diferencial de comprimento d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt = raiz3^2 + 4^2 dt = raiz9 + 16 dt = raiz25 dt = 5 dt é dado por:

Passo 5

Agora, substituímos integralC x e^y d s = integral0^1 x(t) e^y(t) d s = integral0^1 (2 + 3t) e^4t cdot 5 dt = 5 integral0^1 (2 + 3t) e^4t dt , e na integral original:

Passo 6

Vamos resolver a integral u = 2 + 3t Rightarrow du = 3 dt . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
dv = e^4t dt Rightarrow v = 14 e^4t
integral u , dv = u v - integral v , du = (2 + 3t) cdot 14 e^4t - integral 14 e^4t cdot 3 dt
Aplicando integração por partes:
= 2 + 3t4 e^4t - 34 integral e^4t dt = 2 + 3t4 e^4t - 316 e^4t + C
Simplificando:
= ( 2 + 3t4 - 316 ) e^4t + C = ( 8 + 12t - 316 ) e^4t + C = 5 + 12t16 e^4t + C

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
5 integral0^1 (2 + 3t) e^4t dt = 5 [ 5 + 12t16 e^4t |0^1 ]
Calculando nos limites:
Para 5 + 12(1)16 e^4(1) = 1716 e^4 :
5 + 12(0)16 e^4(0) = 516 e^0 = 516
Para 5 ( 1716 e^4 - 516 ) = 5 cdot 17 e^4 - 516 = 5(17 e^4 - 5)16 :
Portanto:

Resposta

A integral de linha é .

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