Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é o segmento de reta de a
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrais sobre curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e depois calcular o comprimento diferencial .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta . Sabemos que uma reta entre dois pontos e pode ser parametrizada usando um parâmetro que varia de 0 a 1. Então, temos:
Aqui, varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a calcular o diferencial de comprimento .
Passo 4
O diferencial de comprimento é dado por:
Passo 5
Agora, substituímos , e na integral original:
Passo 6
Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde: