Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^4(2 x+1)^-1 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^4(2 x+1)^-1 / 2 , dx. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a integração de funções que envolvem potências e substituição simples. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de potência e fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função que temos é (2x + 1)^-1/2. Isso pode ser reescrito como 1raiz2x + 1. A integração dessa função diretamente pode ser um pouco complicada, então vamos fazer uma substituição para facilitar.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = 2x + 1. Assim, a derivada de u em relação a x é dudx = 2, o que significa que dx = du2. Agora, precisamos mudar os limites de integração de x para u.

Passo 4

Quando x = 0, substituindo na equação u = 2(0) + 1, temos u = 1.
Quando x = 4, substituindo na equação u = 2(4) + 1, temos u = 9.
Portanto, nossa nova integral com respeito a u vai de 1 a 9.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral0^4(2 x+1)^-1 / 2 , dx = integral1^9 u^-1/2 cdot du2 = 12 integral1^9 u^-1/2 , du
Agora, podemos integrar u^-1/2.

Passo 6

A integral de u^-1/2 com relação a u é 2u^1/2. Então, temos:
12 integral1^9 u^-1/2 , du = 12 cdot 2u^1/2 |1^9 = u^1/2 |1^9

Passo 7

Agora, basta substituir os limites de integração:
u^1/2 |1^9 = raiz9 - raiz1 = 3 - 1 = 2

Resposta

O valor da integral definida é 2.

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