Encontre equações para: (a) O plano tangente; (b) A reta normal no ponto na superfície dada .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas coisas na superfície definida por no ponto . Primeiramente, precisamos entender que estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com planos tangentes e retas normais a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função que define a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma mais clara:
Aqui, é uma função que descreve nossa superfície. Para encontrar o plano tangente e a reta normal no ponto , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Passo 4
Substituindo , e em cada derivada:
Portanto, o gradiente de no ponto é . Esse gradiente é perpendicular à superfície no ponto considerado.
Passo 5
(a) Plano Tangente:
A equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
(b) Reta Normal:
A reta normal à superfície no ponto tem direção igual ao gradiente de no ponto, que é . A equação paramétrica da reta é: