Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar integrais definidas. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se cruzam, pois esses pontos serão os limites de nossa integral.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Reorganizando a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Calculando o discriminante:
Como
, temos duas soluções reais:
Então:
Passo 6
Os pontos de interseção são
e
. Agora, precisamos determinar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo para configurar nossa integral.
Passo 7
Vamos escolher um valor de
entre -1 e 3, por exemplo,
:
Como
neste intervalo, a curva
está acima da curva
.
Passo 8
A área
entre as curvas de
a
é dada pela integral da diferença das funções:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 11
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.