Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar integrais definidas. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se cruzam, pois esses pontos serão os limites de nossa integral.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .
Passo 3
Reorganizando a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Passo 5
Calculando o discriminante:
Como , temos duas soluções reais:
Então:
Passo 6
Os pontos de interseção são e . Agora, precisamos determinar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo para configurar nossa integral.
Passo 7
Vamos escolher um valor de entre -1 e 3, por exemplo, :
Como neste intervalo, a curva está acima da curva .
Passo 8
A área entre as curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 11
Calculando em :
Calculando em :
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.
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