Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
y = -1 - x^2 e y = -2x - 4;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar integrais definidas. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se cruzam, pois esses pontos serão os limites de nossa integral.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Reorganizando a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 5

Calculando o discriminante:
Como , temos duas soluções reais:
Então:

Passo 6

Os pontos de interseção são e . Agora, precisamos determinar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo para configurar nossa integral.

Passo 7

Vamos escolher um valor de entre -1 e 3, por exemplo, :
Como neste intervalo, a curva está acima da curva .

Passo 8

A área entre as curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:

Passo 9

Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 10

Agora, vamos calcular a integral:

Passo 11

Calculando em :
Calculando em :

Passo 12

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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