Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e o eixo x ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre a curva e o eixo . Para isso, vamos usar integrais definidas, que fazem parte do cálculo integral. Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de onde vamos calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e o eixo (que é ). Igualando as duas equações:
Resolvendo para :
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos configurar a integral definida para achar a área entre elas. A área pode ser encontrada integrando a diferença entre as funções superiores e inferiores nos limites que encontramos:
Aqui, é a curva que está abaixo do eixo , então a diferença nos dá a magnitude da área entre elas.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Primeiro, vamos integrar termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de a :
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e o eixo é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o segmento de reta de a
Encontre equações para: (a) O plano tangente; (b) A reta normal no ponto na superfície dada .