Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é o segmento de reta que junta a
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha, onde é o segmento de reta que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar uma reta, e como calcular , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta . Como é um segmento de reta entre e , podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1.
A parametrização fica:
onde .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar , o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos , e na integral de linha:
Podemos fatorar fora da integral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 t , dt = t^22 |0^1 = 12
integral0^1 6t^2 , dt = 6 cdot t^33 |0^1 = 2
Somando tudo:
-1 + 12 + 2 = 32
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo raiz13 cdot 32 = 3raiz132 :