Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x y d s C é o segmento de reta que junta (-1,1) a (2,3)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar uma reta, e como calcular , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x(t) = -1 + (2 - (-1))t = -1 + 3t . Como y(t) = 1 + (3 - 1)t = 1 + 2t é um segmento de reta entre e , podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1.
A parametrização fica:
onde .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt , o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
dxdt = 3
Primeiro, calculamos as derivadas:
dydt = 2
ds = raiz3^2 + 2^2 , dt = raiz9 + 4 , dt = raiz13 , dt
Então,

Passo 4

Agora, substituímos integralC x y , ds = integral0^1 x(t) y(t) , ds = integral0^1 (-1 + 3t)(1 + 2t) raiz13 , dt , raiz13 integral0^1 (-1 + 3t)(1 + 2t) , dt e na integral de linha:
Podemos fatorar fora da integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando os termos:
(-1 + 3t)(1 + 2t) = -1 cdot 1 + (-1) cdot 2t + 3t cdot 1 + 3t cdot 2t = -1 - 2t + 3t + 6t^2 = -1 + t + 6t^2
Então, a integral fica:
raiz13 integral0^1 (-1 + t + 6t^2) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 (-1) , dt = -t |0^1 = -1
integral0^1 t , dt = t^22 |0^1 = 12
integral0^1 6t^2 , dt = 6 cdot t^33 |0^1 = 2
Somando tudo:
-1 + 12 + 2 = 32

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo raiz13 cdot 32 = 3raiz132 :

Resposta

A integral de linha é .

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