Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x^2 z d s,
C: x=sen 2 t, y=3 t, z=cos 2 t, 0 <= t <= pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha x = sin(2t), y = 3t, z = cos(2t), 0 <= t <= pi4 onde é a curva dada pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos lidando com integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa parametrizar uma curva. As equações dadas já nos fornecem a parametrização em termos da variável . Isso significa que cada ponto na curva pode ser encontrado substituindo um valor de nas equações de , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt . Para isso, usamos a fórmula:
Então, vamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt [sin(2t)] = 2cos(2t)
dydt = ddt [3t] = 3
dzdt = ddt [cos(2t)] = -2sin(2t)

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do ds = raiz(2cos(2t))^2 + (3)^2 + (-2sin(2t))^2 , dt :
ds = raiz4cos^2(2t) + 9 + 4sin^2(2t) , dt
Calculando os quadrados:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica ds = raiz4(cos^2(2t) + sin^2(2t)) + 9 , dt = raiz4(1) + 9 , dt = raiz13 , dt :

Passo 7

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando x^2 z = (sin(2t))^2 cdot cos(2t) = sin^2(2t) cos(2t) em termos de :

Passo 8

Finalmente, substituímos tudo na integral de linha:
integralC x^2 z , ds = integral0^pi/4 sin^2(2t) cos(2t) cdot raiz13 , dt = raiz13 integral0^pi/4 sin^2(2t) cos(2t) , dt
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe , então , ou seja, .

Passo 9

Substituindo na integral:
raiz13 integralu(0)^u(pi/4) u^2 cdot du2 = raiz132 integral0^sin(pi/2) u^2 du = raiz132 integral0^1 u^2 du
Integrando raiz132 [ u^33 ]0^1 = raiz132 ( 13 - 0 ) = raiz136 :

Resposta

A integral de linha é .

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integralC x y z d s,
C: x=2 t, y=3 sen t, z=3 cos t, 0 <= t <= pi / 2