Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
onde
é a curva dada pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos lidando com integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa parametrizar uma curva. As equações dadas já nos fornecem a parametrização em termos da variável
. Isso significa que cada ponto na curva
pode ser encontrado substituindo um valor de
nas equações de
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco
. Para isso, usamos a fórmula:
Então, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do
:
Calculando os quadrados:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Agora, vamos expressar a função que estamos integrando
em termos de
:
Passo 8
Finalmente, substituímos tudo na integral de linha:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 9
Substituindo na integral:
Integrando
:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o segmento de reta que junta
a
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,